次の問いに答えなさい．

(1)$a,\ b$を正の実数とするとき，不等式
\[ a^3+b^3 \geqq a^2b+ab^2 \]
が成り立つことを示しなさい．
(2)$2$次方程式
\[ 2x^2-kx+1=0 \]
が，$0<x<1$および$1<x<2$の範囲に解を$1$つずつもつとき，定数$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)正の実数$x,\ y,\ z$が
\[ \frac{yz}{x}=\frac{zx}{4y}=\frac{xy}{9z} \]
を満たすとする．このとき，式
\[ \frac{x+y+z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \]
の値を求めなさい．

次のように定義される数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えなさい．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2{a_n}^3+1}{3{a_n}^2} \]

(1)$a_2$を求めなさい．
(2)任意の自然数$n$について$a_n>1$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．
(3)任意の自然数$n$について$a_n>a_{n+1}$が成り立つことを示しなさい．

正の整数$n$を
\[ n=a_1+a_2+\cdots +a_k \]
のようにいくつかの正の整数の和として表す．このとき，正の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$を$n$の分割とよぶ．ここで，$k=1$の場合，すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす．

いま，$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって，積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし，その積の値を$P(n)$と書くことにする．

(1)$P(4)$を求めなさい．
(2)$n>1$とする．$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい．
(3)最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい．
(4)最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい．
(5)$P(20)$を求めなさい．

次の設問に答えなさい．

(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．

(i) $\sqrt{5}$は無理数である．
(ii) $r,\ s$がともに有理数ならば，積$rs$は有理数である．
(iii) $\alpha$が無理数で，$r$が$0$でない有理数ならば，積$\alpha r$は無理数である．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha,\ \beta$がともに無理数ならば，積$\alpha \beta$は無理数である．

$a_1=0$，$a_{n+1}=\log (a_n+e) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{a_n\}$の収束について調べたい．以下の問いに答えなさい．

(1)方程式$x=\log (x+e)$は$x>0$の範囲でただ$1$つの実数解$\beta$をもつことを証明しなさい．
(2)すべての自然数$n$について$0 \leqq a_n<\beta$が成り立つことを証明しなさい．
(3)$0<a<b$のとき$\displaystyle \log b-\log a<\frac{b-a}{a}$が成り立つことを証明しなさい．
(4)すべての自然数$n$について$\displaystyle \beta-a_{n+1}<\frac{1}{e}(\beta-a_n)$が成り立つことを証明し，これを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\beta$を示しなさい．

次の命題を証明せよ．ただし，$(2)$の証明には$(1)$を使ってよい．

(1)$x$は実数とする．$x \geqq 4$のとき，$3x^2+3x+1<x^3$が成り立つ．
(2)$n$は自然数とする．$n \geqq 10$のとき，$n^3<2^n$が成り立つ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と三角形の外部にある点$\mathrm{O}$を結ぶ各直線が，三角形の対辺またはその延長上と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．ただし，点$\mathrm{O}$は三角形の辺上にも，その延長上にもないものとする．
（図は省略）

(1)三角形の面積比$\triangle \mathrm{AOB}:\triangle \mathrm{AOC}$および$\triangle \mathrm{BOC}:\triangle \mathrm{BOA}$を線分$\mathrm{BP}$，$\mathrm{CP}$，$\mathrm{AQ}$，$\mathrm{CQ}$の長さを用いて求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{AB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{OR}}=1$となることを証明せよ．
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{AR}=4$，$\mathrm{CP}=3$のとき，比$\mathrm{RO}:\mathrm{CO}$を求めよ．

$0<x<\pi$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，$f^{\prime\prime}(x)>0$となることを示せ．これらの結果を増減表に書き，曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$0 \leqq t \leqq 1$に対し，$0<a \leqq x<\pi$を満たす任意の$a$と$x$を考えると，
\[ tf(a)+(1-t)f(x) \geqq f(at+(1-t)x) \]
が成り立つことを示せ．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$のそれぞれの角を$A,\ B,\ C$とすると$\displaystyle \frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C} \geqq 2 \sqrt{3}$が成り立つことを証明せよ．

平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(-t,\ t^2-a)$，$\mathrm{C}(t,\ t^2-a)$があり，条件
\[ a>0,\quad 0<t \leqq \sqrt{a},\quad \triangle \mathrm{ABC} \text{は正三角形} \]
が成り立っているとする．

(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$0<t \leqq \sqrt{3}$であることを示せ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2-a$，$y=-x^2+a$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$T$とする．$t$が$(2)$の範囲を動くとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最小値を求めよ．

行列$A,\ E,\ O$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]
で定め，行列$A$の表す$1$次変換を$f$とする．また，行列$A-E$の逆行列が存在しないとする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)等式$A^2-(a+d)A+(a+d-1)E=O$が成り立つことを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の任意の点とする．$1$次変換$f$による点$\mathrm{P}$の像を$\mathrm{Q}$とし，$f$による点$\mathrm{Q}$の像を$\mathrm{R}$とすると，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は一直線上にあることを示せ．