次の問に答えよ．

(1)$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x,\ y,\ z$があれば$x$と$y$はいずれも$3$の倍数であることを示し，$x^2+4y^2=9z^2$をみたす自然数$x,\ y,\ z$の例を挙げよ．
(2)$x^3+4y^3=9z^3$をみたす自然数$x,\ y,\ z$は存在しないことを示せ．

放物線$y=x^2$を$C$，$y=-x^2+2x+4$を$D$とする．実数$t$を用いて表される$D$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2t+4)$における$D$の接線を$\ell$とする．

(1)$C$と$D$が異なる$2$点で交わることを示し，その$x$座標を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．$f(x)$を求めよ．
(3)$(1)$で求めた$2$交点の$x$座標を$a,\ b (a<b)$とする．$a<t<b$を満たす$t$に対して，$(2)$で求めた接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．次の連立不等式の表す領域の面積を$S(t)$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
y \leqq f(x) \\
y \geqq -x^2+2x+4
\end{array} \right. \]

$t$が$a<t<b$の範囲を動くとき，$S(t)$が最小となる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．

実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して，$2$次正方行列$A,\ O$を次で定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]

(1)行列$A$が$ad-bc=0$を満たすとき，
\[ A=\left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
r & s
\end{array} \right) \]
となるような実数$p,\ q,\ r,\ s$が存在することを示せ．
(2)ある$2$次正方行列$X,\ Y$に対して$XA \neq O$，$AY \neq O$，$XAY=O$が成立するとき，$ad-bc \neq 0$となることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において
\[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin x \leqq x \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$で囲まれた図形とする．$D_1$，$D_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して，$2$次正方行列$A,\ O$を次で定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right) \]

(1)行列$A$が$ad-bc=0$を満たすとき，
\[ A=\left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
r & s
\end{array} \right) \]
となるような実数$p,\ q,\ r,\ s$が存在することを示せ．
(2)ある$2$次正方行列$X,\ Y$に対して$XA \neq O$，$AY \neq O$，$XAY=O$が成立するとき，$ad-bc \neq 0$となることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において
\[ \frac{2}{\pi}x \leqq \sin x \leqq x \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において，$D_1$を曲線$y=\sin x$と$2$直線$y=x$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれた図形とし，$D_2$を曲線$y=\sin x$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{\pi}x$で囲まれた図形とする．$D_1$，$D_2$の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)$D_2$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なく用いて良い．
(2)異なる自然数$m,\ n$の組で
\[ m^n=n^m \]
を満たすものをすべて求めよ．
(3)曲線$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$と直線$\displaystyle y=\frac{\log 2}{2}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$が，$a_n=\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}$，$\displaystyle b_n=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$で定められている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 1$に対して，$b_{n+1}<a_n<b_n$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle 8<\sum_{k=1}^{40} b_k<9$が成り立つことを示せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$が与えられているとする．以下の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，それぞれ$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=s:1-s$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=t:1-t$と辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$を内分するように与えられているとする（即ち$0<s<1$，$0<t<1$とする）．直線$\mathrm{PQ}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通るための必要十分条件は$3st=s+t$であることを示せ．
(2)直線$\ell$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を通る直線とする．$\ell$によって，$\triangle \mathrm{ABC}$はふたつの図形（三角形と四角形，またはふたつの三角形）に分割される．これらの図形の面積のうち，大きい方を$S_1$，小さい方を$S_2$とする．ただし，面積が等しい場合も同じ記号を用い，$S_1=S_2$とする．

(i) $\ell$が$\triangle \mathrm{ABC}$のいずれかの頂点を通ることは$S_1=S_2$となるための必要十分条件であることを示せ．
(ii) $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の最大値と最小値を求めよ．

次の条件を満たす$2$次正方行列$A,\ B$がある．
\[ A^2=E,\quad B^2=-E,\quad AB+BA=O \]
ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$が成り立つことを示せ．
\[ (ⅰ) (A+B+AB)^2=E \qquad (ⅱ) A+B \neq O \qquad (ⅲ) AB \neq E \]
(2)$(A+B)C=O$となる零行列でない$2$次正方行列$C$が存在することを示せ．