「証明」について
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国立 群馬大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$x^3-3x+1=0$は相異なる$3$つの実数解をもつことを示せ．
(2)$x^3-3x+1=0$の解で最小のものを$\alpha$，最大のものを$\beta$とする．このとき，次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_\alpha^\beta |x^2-1| \, dx \]
(1)$3$次方程式$x^3-3x+1=0$は相異なる$3$つの実数解をもつことを示せ．
(2)$x^3-3x+1=0$の解で最小のものを$\alpha$，最大のものを$\beta$とする．このとき，次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_\alpha^\beta |x^2-1| \, dx \]
国立 群馬大学 2014年 第2問$k$を自然数とする．数列$\{a_n\}$において，初めの$k$項の和を$T_1$，次の$k$項の和を$T_2$，その次の$k$項の和を$T_3$とし，以下同様に$T_4,\ T_5,\ \cdots$を定めるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$が等比数列で$k=4$とする．$T_1=5$，$T_2=80$のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．ただし，公比は実数とする．
(2)$\{a_n\}$が等差数列ならば$\{T_n\}$も等差数列であることを証明せよ．
(1)$\{a_n\}$が等比数列で$k=4$とする．$T_1=5$，$T_2=80$のとき，$\{a_n\}$の一般項を求めよ．ただし，公比は実数とする．
(2)$\{a_n\}$が等差数列ならば$\{T_n\}$も等差数列であることを証明せよ．
国立 高知大学 2014年 第1問$f(x)=x(x-1)(x+1)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
国立 群馬大学 2014年 第1問$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ$1$から$9$までの整数とし，$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$の中に同じ数がいくつあってもよいとする．$[a_1a_2a_3]$は$3$桁の整数$a_1 \times 100+a_2 \times 10+a_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_3]$は$3$桁の整数$b_1 \times 100+b_2 \times 10+b_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_326]$は$5$桁の整数$b_1 \times 10000+b_2 \times 1000+b_3 \times 100+2 \times 10+6 \times 1$を表すとする．$p,\ q,\ r$を次の条件とする．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
国立 群馬大学 2014年 第1問$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ$1$から$9$までの整数とし，$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$の中に同じ数がいくつあってもよいとする．$[a_1a_2a_3]$は$3$桁の整数$a_1 \times 100+a_2 \times 10+a_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_3]$は$3$桁の整数$b_1 \times 100+b_2 \times 10+b_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_326]$は$5$桁の整数$b_1 \times 10000+b_2 \times 1000+b_3 \times 100+2 \times 10+6 \times 1$を表すとする．$p,\ q,\ r$を次の条件とする．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
国立 群馬大学 2014年 第1問$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ$1$から$9$までの整数とし，$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$の中に同じ数がいくつあってもよいとする．$[a_1a_2a_3]$は$3$桁の整数$a_1 \times 100+a_2 \times 10+a_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_3]$は$3$桁の整数$b_1 \times 100+b_2 \times 10+b_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_326]$は$5$桁の整数$b_1 \times 10000+b_2 \times 1000+b_3 \times 100+2 \times 10+6 \times 1$を表すとする．$p,\ q,\ r$を次の条件とする．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
国立 高知大学 2014年 第3問関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}(x+1)x & (-1 \leqq x \leqq 0 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{2}x(x-1) & (0<x \leqq 1 \text{のとき}) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$y=f^\prime(x)$のグラフを$-1<x<1$の範囲でかき，$f^\prime(x)$が$x=0$で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}(x+1)x & (-1 \leqq x \leqq 0 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{2}x(x-1) & (0<x \leqq 1 \text{のとき}) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$y=f^\prime(x)$のグラフを$-1<x<1$の範囲でかき，$f^\prime(x)$が$x=0$で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第2問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2014年 第2問下図の平行六面体において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とし，$\triangle \mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，四面体$\mathrm{OACD}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとする．このとき，次の各問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{ACD}$の重心が点$\mathrm{H}$に一致することを示し，$2$つの線分$\mathrm{OH}$と$\mathrm{HF}$の比$\mathrm{OH}:\mathrm{HF}$を求めよ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{HE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{HEF}$の面積を求めよ．
国立 九州工業大学 2014年 第2問$A+B=E$，$AB=O$をみたす$2 \times 2$行列$A,\ B$を考える．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．以下の問いに答えよ．
(1)$A^2=A$，$B^2=B$，$BA=O$となることを示せ．
(2)$(A+\alpha B)^n=A+k_nB$をみたす実数$k_n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$\alpha$は実数であり，$n$は自然数である．
(3)$A+\alpha B=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -3 \\
2 & 4
\end{array} \right)$であるとき，$A,\ B$と実数$\alpha$を求めよ．
(1)$A^2=A$，$B^2=B$，$BA=O$となることを示せ．
(2)$(A+\alpha B)^n=A+k_nB$をみたす実数$k_n$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$\alpha$は実数であり，$n$は自然数である．
(3)$A+\alpha B=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -3 \\
2 & 4
\end{array} \right)$であるとき，$A,\ B$と実数$\alpha$を求めよ．