$xy$平面内の直線$L$を$x-ay+a^2-1=0$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)直線$L$と$x$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)直線$L$は$a$が$0$でないとき$y$軸と交わる．このときの$y$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)直線$L$上の点$(x,\ y)$がとりえる範囲を，$x$と$y$に関する不等式で表せ．
(4)$(3)$で求めた範囲の境界を曲線$C$とする．直線$L$と曲線$C$が接することを示し，接点の座標を$a$を用いて表せ．
(5)$a>0$のとき，直線$L$と$(4)$の曲線$C$および$x$軸で囲まれ，かつ$x \geqq 0$の部分の面積を$a$を用いて表せ．

$\mathrm{A}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球と，$\mathrm{B}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球がある．これらの球を袋に入れて，この袋から球を取り出すとする．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．

(1)球を$1$個ずつ$4$回取り出す．取り出した球は色を確認したら袋に戻し，次の球を取り出すとする．このとき，以下のア，イの問いに答えよ．

\mon[ア．] $4$回のうち，同じ色の球を$2$回以上取り出す確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$回のうち，異なる$2$色の球をそれぞれ$2$回ずつ取り出す確率を求めよ．

(2)$4$個の球を同時に取り出すとする．このとき，以下のア，イ，ウの問いに答えよ．

\mon[ア．] $4$個の球を同時に取り出したとき，$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$個の球を同時に取り出したとき，少なくとも赤球が$1$個含まれ，かつ$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[ウ．] $4$個の球を同時に取り出して文字を確認した後，袋に球をすべて戻してもう一度同時に$4$個の球を取り出す．この合計$8$個の球のうち，$\mathrm{A}$と書かれた球が$6$個で，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．

以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列である．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$|A|=ad-bc$とおく．たとえば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$のときは，$|A|=1 \times 4-2 \times 3=-2$である．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$に対して$|AB|=|A| \times |B|$が成り立つことを示せ．
(2)実数$x,\ y$に対して，行列$X,\ Y,\ Z$を
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
x^2 & x^2 \\
y^2-1 & y^2
\end{array} \right),\quad Y=X-xE,\quad Z=X-yE \]
で定める．積$YZ$が逆行列をもたないような$(x,\ y)$を，$xy$平面上で図示せよ．

以下の問いに答えよ．ただし，$E$は単位行列である．

(1)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して$|A|=ad-bc$とおく．たとえば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array} \right)$のときは，$|A|=1 \times 4-2 \times 3=-2$である．$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$と$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$に対して$|AB|=|A| \times |B|$が成り立つことを示せ．
(2)実数$x,\ y$に対して，行列$X,\ Y,\ Z$を
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
x^2 & x^2 \\
y^2-1 & y^2
\end{array} \right),\quad Y=X-xE,\quad Z=X-yE \]
で定める．積$YZ$が逆行列をもたないような$(x,\ y)$を，$xy$平面上で図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle \sin^4 x \cos^2 x+\cos^4 x \sin^2 x=\frac{1}{4} \sin^2 2x$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$とおくことにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t \sin^2 t \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx$の値を求めよ．

関数$f(x)$は導関数$f^\prime(x)$および第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもち，区間$0 \leqq x \leqq 1$において，
\[ f(x)>0,\quad \{f^\prime(x)\}^2 \leqq f(x)f^{\prime\prime}(x) \leqq 2 \{f^\prime(x)\}^2 \]
を満たしている．$f(0)=a$，$f(1)=b$とするとき，次の不等式を示せ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{1}{2} \right) \leqq \frac{a+b}{2}$

(2)$\displaystyle f \left( \frac{1}{3} \right) \leqq \sqrt[3]{a^2b}$

(3)$\displaystyle f \left( \frac{1}{4} \right) \geqq \frac{4ab}{a+3b}$

(4)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \leqq \frac{1}{4}a+\frac{1}{2} \sqrt{ab}+\frac{1}{4}b$

$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -2 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，$(AB)^n$を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(2)自然数$n$に対して，$(BA)^n$を求めよ．

行列$I,\ J,\ O$をそれぞれ$I=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$J=\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．また，実数$a,\ b$を用いて$aI+bJ$と表される行列全体の集合を$U$とおく．行列$A,\ B$が$U$に属するとき，以下の問に答えよ．

(1)$AB$は$U$に属することを示せ．
(2)$AB=BA$であることを示せ．
(3)$AB=O$と仮定する．このとき$A=O$または$B=O$であることを示せ．
(4)$A^4+I=O$をみたす$A$をすべて求めよ．

座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{2}{3} \\
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{2}{3}
\end{array} \right)$が表す移動（$1$次変換）を$f$とし，直線$x+2y=1$を$\ell$とする．次に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(p_1,\ p_2)$が$f$によって移る点を$\mathrm{Q}(q_1,\ q_2)$とする．$\mathrm{P}$が$\ell$上の点のとき，$\mathrm{Q}$は$\ell$上にあることを示せ．
(2)$\ell$上の点$\mathrm{R}$は$f$によって$\mathrm{R}$自身に移る．

(i) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ii) $\mathrm{R}$と異なる$\ell$上の点$\mathrm{P}$が$f$によって点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{RP}}|}$を求めよ．

(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を
\[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．さらに$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．

$\alpha,\ \beta$は正の実数とする．次の条件によって定義される数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について，以下の問に答えよ．

$a_1=\alpha,\quad b_1=\beta,$
$a_{n+1}=\alpha a_n-\beta b_n,\quad b_{n+1}=\beta a_n+\alpha b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(1)$\alpha^2+\beta^2 \leqq 1$が成り立つならば，任意の自然数$n$に対して${a_n}^2+{b_n}^2 \leqq 1$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \alpha=\cos \theta,\ \beta=\sin \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表されているとき，$a_2$，$b_2$，$a_3$，$b_3$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$a_{12}=1$，$b_{12}=0$となるような正の実数の組$(\alpha,\ \beta)$を全て求めよ．