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国立 弘前大学 2014年 第2問$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$に対し，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$の比に内分する点を$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{CD}$を$u:(1-u)$の比に内分する点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$0<t<1$，$0<u<1$とする．次の問いに答えよ．
(1)$4$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一平面上にあるならば，$t=u$が成り立つことを示せ．
(2)$t=u$のとき，$\mathrm{EF}^2+\mathrm{FH}^2+\mathrm{HG}^2+\mathrm{GE}^2$の値の範囲を求めよ．
(1)$4$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一平面上にあるならば，$t=u$が成り立つことを示せ．
(2)$t=u$のとき，$\mathrm{EF}^2+\mathrm{FH}^2+\mathrm{HG}^2+\mathrm{GE}^2$の値の範囲を求めよ．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 鹿児島大学 2014年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする．点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって，点$(2,\ 4)$に移ったとする．このとき，点$(x,\ y)$を求めよ．
(2)$(1)$で与えられた行列$P$を考える．$P^n=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする．
(i) $XY=YX$が成立する．
(ii) $XY=O$ならば，$X=O$または$Y=O$である．ただし，$O$は$2$次の零行列を表す．
(iii) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする．このとき，$AX=Y$ならば，$X=YA^{-1}$である．
(1)座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする．点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって，点$(2,\ 4)$に移ったとする．このとき，点$(x,\ y)$を求めよ．
(2)$(1)$で与えられた行列$P$を考える．$P^n=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする．
(i) $XY=YX$が成立する．
(ii) $XY=O$ならば，$X=O$または$Y=O$である．ただし，$O$は$2$次の零行列を表す．
(iii) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする．このとき，$AX=Y$ならば，$X=YA^{-1}$である．
国立 琉球大学 2014年 第3問整数$m,\ n$は$m \geqq 1$，$n \geqq 2$をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1)$x>0$のとき，$y=\log x$の第$1$次導関数$y^\prime$と第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(m,\ \log m)$，$\mathrm{B}(m+1,\ \log m)$，$\mathrm{C}(m+1,\ \log (m+1))$を頂点とする三角形の面積を$S_m$とする．$S_m$を$m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle f(m)=\log m+S_m-\int_m^{m+1} \log x \, dx$とおく．$f(m)<0$が成り立つことを，$y=\log x$のグラフを用いて説明せよ．
(4)$f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)<0$であることを用いて，不等式
\[ \log 1+\log 2+\cdots +\log (n-1)<n \log n-n+1-\frac{1}{2} \log n \]
を証明せよ．
(5)不等式$\displaystyle n!<e \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$x>0$のとき，$y=\log x$の第$1$次導関数$y^\prime$と第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(m,\ \log m)$，$\mathrm{B}(m+1,\ \log m)$，$\mathrm{C}(m+1,\ \log (m+1))$を頂点とする三角形の面積を$S_m$とする．$S_m$を$m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle f(m)=\log m+S_m-\int_m^{m+1} \log x \, dx$とおく．$f(m)<0$が成り立つことを，$y=\log x$のグラフを用いて説明せよ．
(4)$f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)<0$であることを用いて，不等式
\[ \log 1+\log 2+\cdots +\log (n-1)<n \log n-n+1-\frac{1}{2} \log n \]
を証明せよ．
(5)不等式$\displaystyle n!<e \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
国立 琉球大学 2014年 第4問$1$個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行う．景品は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類あり，次の規則にしたがって景品をもらえるとする．
\begin{itemize}
出た目の数が$6$のときは，景品$\mathrm{A}$をもらえる．
出た目の数が$4,\ 5$のときは，景品$\mathrm{B}$をもらえる．
出た目の数が$1,\ 2,\ 3$のときは，景品はもらえない．
景品$\mathrm{A}$と景品$\mathrm{B}$の$2$種類とももらうことができたらゲームは終了する．
\end{itemize}
ちょうど$n$回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$p_2$の値を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$p_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n$を$2$以上の整数とする．不等式
\[ p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) \]
を示せ．ただし，$p_1=0$とする．
\begin{itemize}
出た目の数が$6$のときは，景品$\mathrm{A}$をもらえる．
出た目の数が$4,\ 5$のときは，景品$\mathrm{B}$をもらえる．
出た目の数が$1,\ 2,\ 3$のときは，景品はもらえない．
景品$\mathrm{A}$と景品$\mathrm{B}$の$2$種類とももらうことができたらゲームは終了する．
\end{itemize}
ちょうど$n$回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$p_2$の値を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$p_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n$を$2$以上の整数とする．不等式
\[ p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) \]
を示せ．ただし，$p_1=0$とする．
国立 鳴門教育大学 2014年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$が一致するとき，$R=2r$となることを証明しなさい．
(2)$\angle \mathrm{ABC}$と$\angle \mathrm{ACB}$がともに${60}^\circ$より小さいとき，$\mathrm{BC}>2 \sqrt{3}r$となることを証明しなさい．
(1)$\mathrm{I}$と$\mathrm{O}$が一致するとき，$R=2r$となることを証明しなさい．
(2)$\angle \mathrm{ABC}$と$\angle \mathrm{ACB}$がともに${60}^\circ$より小さいとき，$\mathrm{BC}>2 \sqrt{3}r$となることを証明しなさい．
国立 滋賀大学 2014年 第2問$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める．
$a_1=a,\ a_{2n}=a_{2n-1}+d,\ a_{2n+1}=ra_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=a,\ b_{2n}=rb_{2n-1},\ b_{2n+1}=b_{2n}+d \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
ただし，$a \neq 0$，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a=3$，$d=1$，$r=2$のとき，$b_9$を求めよ．
(2)数学的帰納法を用いて，すべての自然数$n$に対して次が成り立つことを示せ．
\[ a_{2n}=ar^{n-1}+\frac{d(r^n-1)}{r-1} \]
(3)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_{2n+1}-a_{2n}=\frac{2}{5}ar^n$が成り立つとき，$r$の値を求めよ．
$a_1=a,\ a_{2n}=a_{2n-1}+d,\ a_{2n+1}=ra_{2n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=a,\ b_{2n}=rb_{2n-1},\ b_{2n+1}=b_{2n}+d \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
ただし，$a \neq 0$，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a=3$，$d=1$，$r=2$のとき，$b_9$を求めよ．
(2)数学的帰納法を用いて，すべての自然数$n$に対して次が成り立つことを示せ．
\[ a_{2n}=ar^{n-1}+\frac{d(r^n-1)}{r-1} \]
(3)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_{2n+1}-a_{2n}=\frac{2}{5}ar^n$が成り立つとき，$r$の値を求めよ．
国立 奈良女子大学 2014年 第5問三角形$\mathrm{ABC}$を$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$かつ$\mathrm{AB}>\mathrm{BC}$である二等辺三角形とする．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を，三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{CDB}$が相似となるようにとる．三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，三角形$\mathrm{ADC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADC}$の外部にあることを示せ．
(2)四角形$\mathrm{AOCP}$において，$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{APC}$であることを示せ．
(3)三角形$\mathrm{CDB}$の外心は，三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の周上にあることを示せ．
(1)点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{ADC}$の外部にあることを示せ．
(2)四角形$\mathrm{AOCP}$において，$\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{APC}$であることを示せ．
(3)三角形$\mathrm{CDB}$の外心は，三角形$\mathrm{ADC}$の外接円の周上にあることを示せ．
国立 徳島大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)等式$\displaystyle \sin^4 x \cos^2 x+\cos^4 x \sin^2 x=\frac{1}{4} \sin^2 2x$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$とおくことにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t \sin^2 t \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx$の値を求めよ．
(1)等式$\displaystyle \sin^4 x \cos^2 x+\cos^4 x \sin^2 x=\frac{1}{4} \sin^2 2x$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$とおくことにより，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t \sin^2 t \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 x \cos^2 x \, dx$の値を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2014年 第2問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 3)$を直径の両端とする円がある．図のようにこの円と$x$軸との原点以外の交点を$\mathrm{B}$，線分$\mathrm{OA}$に関して$\mathrm{B}$と反対側の円周上に$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$を満たす点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CA}$の延長線と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として，$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{AOD}$の外心を$\mathrm{P}$として，$\angle \mathrm{OPD}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{AOD}$の外接円の方程式を求めよ．
(4)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と線分$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{E}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を成分表示せよ．