関数$f(x)$は，$f^{\prime\prime}(x)<0$をみたすとする．$t \geqq 0$のとき，次の$(1)$，$(2)$の不等式が成り立つことを示せ．

(1)$f(0)+f^\prime(t)t \leqq f(t) \leqq f(0)+f^\prime(0)t$

(2)$\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2} \leqq \int_0^t f(u) \, du \leqq f(0)t+\frac{f^\prime(0)}{2}t^2$

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間の$2$点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t,\ 0)$，$\mathrm{Q}(\cos 2t,\ \sin 2t,\ \cos t)$について，次の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq t \leqq 2\pi$とする．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は平行でないことを示せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S(t)$は$t$の値に関係なく一定であることを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角$\theta(t)$のとる値の範囲を求めよ．

鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{GB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき

$2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-9$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-3$

を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を示せ．

(2)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．

(3)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-2$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．

鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{GA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{GB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき

$2 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-9$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+2 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=-3$

を満たしているものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を示せ．

(2)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$を求めよ．

(3)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-2$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$xy+y^2+xz+yz$を因数分解せよ．
(2)$a,\ b,\ c (a<b<c)$は連続した自然数とする．このとき
\[ ab+b^2+ac+bc \]
を$4$で割った余りが$3$であることを示せ．
(3)$a,\ b,\ c (a<b<c)$は連続した自然数とする．このとき
\[ a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+2abc \]
は$6$の倍数であることを示せ．

$n$を自然数とし，次の漸化式で$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を定める．

$a_1=1,\ a_2=1,\ a_{n+2}=2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_1=1,\ b_2=1,\ b_3=1,\ b_{n+3}=3b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

以下の問いに答えよ．ただし，必要ならば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いよ．

(1)$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の最初の$6$項をそれぞれ求めよ．
(2)$a_{n+6}=8a_n$となることを示せ．
(3)$m$を$0$以上の整数とするとき，$a_{6m+1}$と$b_{6m+1}$を$m$を用いて表せ．
(4)$6$で割った余りが$1$となるような$n$で，$a_n \geqq b_n$となるものをすべて求めよ．
(5)$6$で割った余りが$3$となるような$n$で，$a_n \geqq b_n$となるものをすべて求めよ．

$A$を$2$次の正方行列とし，$O$を$2$次の零行列，$E$を$2$次の単位行列とする．$P=A-E$とおいたとき，$P^2=O$が成り立っているとする．下の問いに答えなさい．

(1)等式$A^2=2P+E$と$A^3=3P+E$を示しなさい．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を$P$と$E$で表しなさい．
(3)$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$のとき，自然数$n$に対して$A^n$を求めなさい．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x},\ x>0$を考える．下の問いに答えなさい．

(1)$f(x)$の最大値，およびその最大値を与える$x$の値を求めなさい．
(2)$(1)$の結果を利用して$e^3>3^e$であることを証明しなさい．ただし，$e$は自然対数の底である．

$a$を正の実数，$k$を自然数とし，$x>0$で定義される関数
\[ f(x)=\int_a^{ax} \frac{k+\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \]
を考える．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減および凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$y=f(x)$の$x=1$における接線の方程式を求めよ．
(3)$S$を正の実数とするとき，$f(p)=S$を満たす実数$p$がただ$1$つ存在することを示せ．
(4)$\displaystyle b=\frac{k}{k+\sqrt[k]{a}}$とおくとき，$(2)$の$S,\ p$について，次の不等式が成立することを示せ．
\[ 1+bS<p<e^{bS} \]

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$，$0 \leqq y \leqq \pi$のとき，連立方程式
\[ 3 \sin x-\sin y=\sqrt{3},\quad 3 \cos x+\cos y=-1 \]
を解け．
(2)$a,\ b,\ c$を実数とする．$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$であるとき，$a,\ b,\ c$のうち少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ記入された$6$枚のカードが入っている箱から$1$枚ずつ$3$枚のカードを取り出し，左から並べて自然数$n$を作るとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．ただし，例えば$012$は$12$を表すものとする．

(i) $n$が$3$桁の自然数になるのは何通りか．
(ii) $3$桁の自然数$n$を作った後，箱の中に残っている$3$枚のカードを左から並べて$3$桁の自然数$m$を作るとき，$n+m=555$となる$n$は何通りか．