「証明」について
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国立 室蘭工業大学 2016年 第3問$a,\ b,\ c,\ m$を整数とする．
(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．
(3)$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．
(1)$a-b$と$b-c$がともに$m$の倍数ならば，$a-c$も$m$の倍数であることを示せ．
(2)等式
\[ a^{n+1}-b^{n+1}=a^n(a-b)+b(a^n-b^n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を利用して，すべての自然数$n$に対して$a^n-b^n$は$a-b$の倍数であることを，数学的帰納法により示せ．
(3)$2016$を素因数分解せよ．また，$2^{2016}$を$127$で割った余りを求めよ．
国立 愛知教育大学 2016年 第2問すべての自然数$n$について，$3^n-2n+3$は$4$の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．
国立 愛知教育大学 2016年 第5問すべての自然数$n$について，$3^{3n+1}+7^{2n-1}$は$11$の倍数である．このことを，数学的帰納法を用いて示せ．
国立 愛知教育大学 2016年 第6問次の問いに答えよ．
(1)複素数平面において，方程式$|z+1|=|z-1|$を満たす点$z$全体はどのような図形か答えよ．
(2)複素数$z (z \neq -1)$に対し，$\displaystyle w=\frac{i(1-z)}{1+z}$とする．このとき，どんな$z$に対しても$w=-i$とはならないことを示せ．
(3)点$z$が$(1)$で求めた図形の上を動くとき，$(2)$の点$w$はどのような図形を描くか答えよ．
(1)複素数平面において，方程式$|z+1|=|z-1|$を満たす点$z$全体はどのような図形か答えよ．
(2)複素数$z (z \neq -1)$に対し，$\displaystyle w=\frac{i(1-z)}{1+z}$とする．このとき，どんな$z$に対しても$w=-i$とはならないことを示せ．
(3)点$z$が$(1)$で求めた図形の上を動くとき，$(2)$の点$w$はどのような図形を描くか答えよ．
国立 愛知教育大学 2016年 第8問関数
\[ y=x^x(1-x)^{1-x} \quad (0<x<1) \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$y$の導関数を求めよ．
(2)$y$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{t \to +0}t^t=1$であることを証明なしに用いてよい．
\[ y=x^x(1-x)^{1-x} \quad (0<x<1) \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$y$の導関数を求めよ．
(2)$y$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{t \to +0}t^t=1$であることを証明なしに用いてよい．
国立 静岡大学 2016年 第1問一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が平面上にある．ただし，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は，この順に反時計回りに並んでいるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$とベクトルの大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ．また，その最小値を与える点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}$とベクトルの大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を平面上の点とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を証明せよ．
(3)点$\mathrm{P}$が平面上を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の最小値を求めよ．また，その最小値を与える点$\mathrm{P}$について，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
国立 静岡大学 2016年 第3問次の各問に答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，$\log$は自然対数を表す．また，等式$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)$a$を正の実数とする．このとき，$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log x}{x} \, dx$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，$\log$は自然対数を表す．また，等式$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)$a$を正の実数とする．このとき，$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log x}{x} \, dx$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
国立 静岡大学 2016年 第4問$i$を虚数単位とするとき，次の各問に答えよ．
(1)複素数$c=1+i$について，$c$と共役な複素数$\overline{c}$および$|c|^2$をそれぞれ求めよ．
(2)複素数$z$が$|z|=1$を満たすとする．このとき，$\displaystyle z+\frac{1}{z}$が実数であることを証明せよ．
(3)$\alpha,\ \beta$を複素数として$\alpha$の実部と虚部がともに正であるとする．また，$|\alpha|=|\beta|=1$とする．複素数$\displaystyle i \alpha,\ \frac{i}{\alpha},\ \beta$で表される複素数平面上の$3$点が，ある正三角形の$3$頂点であるとき，$\alpha,\ \beta$をそれぞれ求めよ．
(1)複素数$c=1+i$について，$c$と共役な複素数$\overline{c}$および$|c|^2$をそれぞれ求めよ．
(2)複素数$z$が$|z|=1$を満たすとする．このとき，$\displaystyle z+\frac{1}{z}$が実数であることを証明せよ．
(3)$\alpha,\ \beta$を複素数として$\alpha$の実部と虚部がともに正であるとする．また，$|\alpha|=|\beta|=1$とする．複素数$\displaystyle i \alpha,\ \frac{i}{\alpha},\ \beta$で表される複素数平面上の$3$点が，ある正三角形の$3$頂点であるとき，$\alpha,\ \beta$をそれぞれ求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第3問次の各問に答えよ．
(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する．
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する．
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第4問$\alpha$を絶対値が$1$の複素数とし，等式$z=\alpha^2 \overline{z}$を満たす複素数$z$の表す複素数平面上の図形を$S$とする．ただし，$\overline{z}$は$z$と共役な複素数を表す．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと，$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ．また，このことを用いて，図形$S$は原点を通る直線であることを示せ．
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする．このとき，$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ．
(1)$z=\alpha^2 \overline{z}$が成り立つことと，$\displaystyle \frac{z}{\alpha}$が実数であることは同値であることを証明せよ．また，このことを用いて，図形$S$は原点を通る直線であることを示せ．
(2)複素数平面上の点$\mathrm{P}(w)$を直線$S$に関して対称移動した点を$\mathrm{Q}(w^\prime)$とする．このとき，$w^\prime$を$w$と$\alpha$を用いて表せ．