次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=\frac{5a_n+9}{-a_n+11} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を推測し，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$a_n<3$を示せ．
(4)$a_n<a_{n+1}$を示せ．
(5)$a_n$が自然数となる$n$をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)等式$\displaystyle \sin \frac{2}{5} \pi=\sin \frac{3}{5} \pi$が成り立つことを示せ．

(2)$\displaystyle a=\frac{\sin 2\theta}{\sin \theta},\ b=\frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$とおく．$\cos \theta=t$とするとき，$a$と$b$をそれぞれ$t$の整式として表せ．ただし，$0<\theta<\pi$とする．

(3)$\displaystyle \cos \frac{\pi}{5}$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$は$a^2=2b$を満たす自然数とする．このとき，$a$は偶数であることを，背理法を用いて証明せよ．
(2)$c,\ d,\ e$は$c^2+d^2=3e$を満たす自然数とする．このとき，$c,\ d,\ e$はいずれも$3$の倍数であることを証明せよ．
(3)すべての自然数$n$に対して$n^{19}-n$を$19$で割った余りは$0$であることを証明せよ．

$l,\ m$を$0$以上の整数とする．$n$を自然数とする．実数の数列$\{a_n\}$に対して$x$の$l$次多項式$P_m(x) (l \leqq m)$が$P_m(n)=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ m+1)$を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ m+1$のとき，$P_{m+1}(n)-P_m(n)$の値をすべて求めよ．
(2)$P_{m+1}(0)-P_m(0)={(-1)}^{m+1}(a_{m+2}-P_m(m+2))$となることを示せ．
(3)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3,\ a_4=5$のとき，$P_3(6)$の値を求めよ．

$0<t<1$とする．$1$辺の長さが$1$である正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，線分$\mathrm{AD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{ED}}, \overrightarrow{\mathrm{AD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BC}}, \overrightarrow{\mathrm{BD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{AE}}, \overrightarrow{\mathrm{BE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{CD}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BA}}, \sin \frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \]
を証明なしで用いてよい．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \angle \mathrm{APQ}=\frac{\pi}{2}$となる$t$の値を求めよ．

$a>0$，$\displaystyle b>\frac{1}{2}$とする．$xy$平面上に，

曲線$C_1$：$y=\log x (x>0)$，曲線$C_2$：$y=ax^2-b (x>0)$

がある．$C_1$と$C_2$は点$\mathrm{P}$で接している．$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$の関数と考えて$x(b)$とする．$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$b$の関数と考えて$S(b)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(b)$を$b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S \left( \frac{3}{2} \right)$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{b \to \infty} S(b)=1$となることを示せ．

$r>0$とする．実数の数列$\{a_n\}$は，

$a_1=0,\quad a_2=1,$
${a_{n+2}}^2-2a_{n+2}a_{n+1}+(1-r){a_{n+1}}^2+2ra_{n+1}a_n-r{a_n}^2=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を満たすとする．数列$\{b_n\}$を，

$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

で定める．$b_n>0 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の点

$\mathrm{P}_n(n,\ a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}$を$r$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$の成分表示を$n,\ r$を用いて与えよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_{n+2}}$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{2}$とはならないことを示せ．

次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{n+1}<\log \left( 1+\frac{1}{n} \right)<\frac{1}{n}$を証明せよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(2)$(1)$の不等式を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right) \]
(3)$(1)$の不等式を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(4)区分求積法を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(5)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} \right) \]

数列$\{a_n\}$が$\displaystyle \frac{a_n-3a_{n+1}}{4(n+1)}=a_na_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義されている．ただし，初項$a_1=1$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_n \neq 0$を示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}+2n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，数列$\{b_n\}$のみたす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

数列$\{a_n\}$が$\displaystyle \frac{a_n-3a_{n+1}}{4(n+1)}=a_na_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義されている．ただし，初項$a_1=1$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_n \neq 0$を示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}+2n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，数列$\{b_n\}$のみたす漸化式を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．