関数$f(x)=(1-x)e^{2x}$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=1-x$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ 1)$における接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との交点は$(0,\ 1)$のみであることを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)正弦，余弦に関する加法定理
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を用いて等式
\[ \sin 3x=3 \sin x-4 \sin^3 x \]
を証明せよ．
(2)関数$y=\sin 3x+3 \cos 2x+6 \sin x (0 \leqq x<2\pi)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値をすべて求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$が以下の漸化式をみたすとする．
\[ a_1=10,\quad b_1=24,\quad a_{n+1}=2a_n-8,\quad b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+6 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(2)$3$辺の長さが，それぞれ$a_2,\ b_2,\ 6$である三角形は存在しないことを示せ．
(3)$3$辺の長さが，それぞれ$a_n,\ b_n,\ 6$である三角形が存在するような$n$の値をすべて求めよ．

関数$y=x^2 e^{-x}$のグラフを曲線$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$をかけ．ただし，$x \leqq 2$の範囲でよい．
(2)曲線$C$が直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$に接していることを示し，その接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x$の関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}x^k=x+\cdots +\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}x^n \]
で定める．ただし，$0 \leqq x<1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle |f_{n+1| \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)-f_n \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)} \leqq \frac{1}{1000(n+1)}$を満たすような$n$の最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}^\prime(x)$を求めよ．
(3)$n$が偶数であるとき，不等式$f_n(x) \leqq \log (x+1)$を示せ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{OR}$の延長が辺$\mathrm{AB}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OQ}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{T}$とするとき，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$は一直線上にあることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)等式$\sin 3\theta=3 \sin \theta-4 \sin^3 \theta$が成り立つことを示せ．
(2)方程式$8x^3-6x+1=0$が$\displaystyle \sin \frac{\pi}{18}$を解にもつことを示せ．
(3)方程式$8x^3-6x+1=0$のすべての解が実数であることを示せ．

曲線$C:y=x^n$（$n$は$2$以上の偶数）上に点$\mathrm{A}(-a,\ a^n) (a>0)$と点$\mathrm{B}(b,\ b^n) (b>0)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$とする．また，線分$\mathrm{AB}$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)$S_1$を求めよ．
(2)$S_2$を求めよ．
(3)$\displaystyle S_2 \geqq \frac{2n}{n+1}S_1$が成り立つことを示せ．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．$C$の外部の点$\mathrm{A}(a,\ b) (a^2+b^2>1)$から$C$に接線を$1$本引き，その接点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OQ}=\mathrm{OP}^2$となる点$\mathrm{Q}$をとる．

(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$，$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$と$b$は正の実数）の$x>0$の部分を$H$とする．このとき，点$(-a,\ 0)$を通る傾き$t$の直線と$H$との交点を考えることにより，$H$上の点$(x,\ y)$の$x$と$y$をそれぞれ$t$の分数式で表せ．
(2)$(1)$のやり方を用いて，$y=\sqrt{x^2-1} (x>1)$で表される曲線を媒介変数$t$の分数式で表示せよ．
(3)$(2)$の結果を用いて不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, dx$を求めよ．