鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下した垂線の足を$\mathrm{D}$，$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下した垂線の足を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とし，$\mathrm{BF}$の延長と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．このとき以下の問に答えよ．

(1)四角形$\mathrm{BDFE}$は円に内接することを証明せよ．
(2)四角形$\mathrm{AEDC}$は円に内接することを証明せよ．
(3)三角形$\mathrm{ABG}$と三角形$\mathrm{ACE}$は相似であることを証明せよ．
(4)四角形$\mathrm{AEFG}$は円に内接することを証明せよ．

集合$X_k$は次のように定義される．
\[ X_k=\left\{ \frac{1}{x} \;\bigg|\; x \text{は}k \text{桁の自然数で，$x$の全ての位に$1$を含まない．} \right\} \]
また，$n(X_k)$は$X_k$の要素の個数，$s(X_k)$は$X_k$の全ての要素の和とする．たとえば，$n(X_1)=8$，$\displaystyle s(X_1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{9}$である．以下の問に答えよ．

(1)$n(X_3)$を求めよ．
(2)$s(X_1)<4$を証明せよ．
(3)$\displaystyle s(X_2)<\frac{18}{5}$を証明せよ．
(4)$\displaystyle s(X_1)+s(X_2)+s(X_3)<\frac{271}{25}$を証明せよ．

以下の問に答えよ．

(1)$m$を整数とするとき，$m^2$が偶数ならば，$m$は偶数であることを証明せよ．
(2)$\sqrt{2}$が無理数であることを証明せよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$が成り立つことを証明せよ．

次の図はある地域の道を直線で示したものである．下の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
（図は省略）

(1)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順が$n$通りあるとき，$n-100=[$13$]$である．
(2)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{C}$を通る道順は$[$14$]$通りある．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$の両方を通る道順は$[$15$]$通りある．
(4)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{C}$または$\mathrm{D}$を通る道順は$[$16$]$通りある．
(5)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{E}$と$\mathrm{D}$の間の道（線分$\mathrm{ED}$）を通らない道順は$[$17$]$通りある．

原点を$\mathrm{O}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$，$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$を通る直線を$\ell$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)$\ell$上の任意の点を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$とすると，直線$\ell$のベクトル方程式は実数$t$に対して，
\[ \overrightarrow{p}=(1-t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \cdots\cdots① \]
となることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$のなす角を$2$等分する直線$m$上の任意の点を$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とすると，直線$m$のベクトル方程式は，実数$k$に対して，
\[ \overrightarrow{q}=k \left( \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|} +\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} \right) \]
となることを証明せよ．
また，$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$が直線$\ell$と直線$m$の交点であるとき，式$①$の$t$を$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$で表せ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{O}^\prime$，$\triangle \mathrm{OBC}$の重心を$\mathrm{A}^\prime$，$\triangle \mathrm{OCA}$の重心を$\mathrm{B}^\prime$，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{C}^\prime$とする．次の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}$は平行であることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$と$|\overrightarrow{\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime}|$の比を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は相似であることを示せ．
(4)$\mathrm{A}$が$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$と$\mathrm{Q}(0,\ 2,\ 0)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{B}$が$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}(0,\ 0,\ 3)$を結ぶ線分の中点，$\mathrm{C}$が$\mathrm{R}$と$\mathrm{P}$を結ぶ線分の中点であるとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$と四面体$\mathrm{O}^\prime \mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$の体積$V^\prime$を求めよ．

$1$枚の硬貨を何回も投げ，表が$2$回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうど$n$回投げた時点で終了する確率を$P_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$P_2$を求めよ．
(2)$P_3$を求めよ．
(3)$P_4$を求めよ．
(4)$\displaystyle P_5<\frac{1}{2}$であることを示せ．

$1$枚の硬貨を何回も投げ，表が$2$回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうど$n$回で終了する確率を$P_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$P_2,\ P_3,\ P_4$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$および$P_{n-1}$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 3$とする．
(3)$n \geqq 2$のとき，$\displaystyle \frac{P_n}{2} \leqq P_{n+1} \leqq P_n$が成り立つことを示せ．

四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接し，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=4$，$\mathrm{DA}=5$である．次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}={180}^\circ$であることを示せ．
(2)$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．