$a$を実数とする．絶対値を含む式$|x-a|x-a |x-a|$は，以下の$(1)$と$(2)$のように$2$通りの解釈が可能である．それぞれの解釈のもとで，方程式
\[ |x-a|x-a |x-a|=x-a \]
を考える．

(1)$|x-a|x-a |x-a|$を，絶対値$|x-a|$と$x$の積から，$a$と絶対値$|x-a|$の積を引いた値と解釈する．このとき，上の方程式の実数解を$a$を用いて小さいほうから列挙すると$x=[キ]$となる．
(2)$|x-a|x-a |x-a|$を$x-a |x-a|x-a$の絶対値であると解釈する．このとき，上の方程式の実数解の個数が$1$個となるための必要十分条件は$a \geqq [ク]$である．また，この方程式の実数解が異なる$3$つの整数となるのは$a=[ケ]$のときである．
(3)$(2)$と同じ解釈のもとで，上の方程式の実数解の個数が有限であるための必要十分条件は$a \neq [コ]$である．$a \neq [コ]$が必要条件であることの証明を書きなさい．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また$(1)$，$(3)$に答えなさい．

以下，数列$\{a_n\}$が「長さ有限」とは，ある番号から先のすべての$n$に対して$a_n=0$となることをいう．ただし，$a_n$はすべて実数とする．また，数列$\{a_n\}$を一つの文字で表すときは$A=\{a_n\}$あるいは$A=(a_1,\ a_2,\ \cdots)$のように書く．数列$A=\{a_n\}$が長さ有限のとき，$a_n \neq 0$となるような自然数$n$の最大値を数列$A$の「長さ」と呼ぶ．ただし，すべての$n$に対して$a_n=0$である数列の長さは$0$とする．
数列$A=\{a_n\}$，$B=\{b_n\}$，および実数$c$に対して
\[ A+B=\{a_n+b_n\},\quad cA=\{ca_n\} \]
により新しい数列$A+B$および$cA$を定義する．また，$A$，$B$がともに長さ有限のときに限って$A$と$B$との「内積」$A \cdot B$および「距離」$\overline{AB}$をそれぞれ
\[ A \cdot B=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n,\quad \overline{AB}=\sqrt{\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)^2} \]
により定める．$\displaystyle \left( \sum_{n=1}^\infty \text{は実際には有限個の数の和である．} \right)$
さて，
\[ A(0)=(0,\ 0,\ 0,\ \cdots),\quad A(1)=(1,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
であるとし，さらに$s=2,\ 3,\ \cdots$に対して長さ$s$の数列
\[ A(s)=(a(s)_1,\ a(s)_2,\ \cdots,\ a(s)_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
が定まっていて$a(s)_n>0 (n=1,\ 2,\ \cdots,\ s)$かつ
\[ \overline{A(s)A(t)}=1 \quad (s \neq t \text{かつ}s,\ t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．

(1)$s \geqq 1$ならば$A(s) \cdot A(s)=1$であり，また，$t>s \geqq 1$ならば$\displaystyle A(s) \cdot A(t)=\frac{1}{2}$であることを示しなさい．ただし，$A(s)=\{a_n\}$，$A(t)=\{b_n\}$とおきなさい．
(2)$A(2),\ A(3)$を求めると
$A(2)=\left( [あ],\ [い],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$，
$A(3)=\left( [う],\ [え],\ [お],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$
である．
(3)$t>s \geqq 2$ならば数列$A(t)$と数列$A(s)$の初めの$s-1$項はすべて一致することを示しなさい．ただし，数列$A(s)$の初めの$s$項を$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_s$，数列$A(t)$の初めの$t$項を$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_t$とおき，また，$s$と$t$以外のすべての$i \geqq 1$について数列$A(i)$の初めの$i$項を$c(i)_1,\ c(i)_2,\ \cdots,\ c(i)_i$とおきなさい．
(4)$t=1,\ 2,\ \cdots$に対して長さ$t$の数列$B(t)$を
\[ B(t)=\frac{1}{t+1} \left\{ A(1)+A(2)+\cdots +A(t) \right\}=\frac{1}{t+1} \sum_{i=1}^t A(i) \]
により定めると，$s=1,\ 2,\ \cdots,\ t$に対して$A(s) \cdot B(t)=[か]$である．
(5)$(3)$で示されたことから，$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$が定まって，すべての$s \geqq 2$に対して$A(s)$は
\[ A(s)=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{s-1},\ y_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
と表される．$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}$を$s$の式で表すと$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}=[き]$である．また，$x_s$を$s$の式で表すと$x_s=[く]$となる．

次の問いに答えよ．

(1)$(ⅰ)$ \ $a>0$，$a \neq 1$，$M>0$である実数$a,\ M$に対し，$a$を底とする$M$の対数$\log_a M$の定義を述べよ．
$(ⅱ)$ $a>0$，$b>0$，$c>0$，$a \neq 1$，$c \neq 1$である実数$a,\ b,\ c$に対し，底の変換公式
\[ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} \]
が成り立つことを示せ．
(2)正の実数$x$の自然対数$\log x$は
\[ \log x=\int_1^x \frac{1}{t} \, dt \]
と表される．これを用いて，正の実数$x,\ y$に対し
\[ \log (xy)=\log x+\log y \]
が成り立つことを示せ．

座標平面上で$2$つのベクトル
\[ \overrightarrow{p}=(p,\ 0),\quad \overrightarrow{q}=(q,\ 0) \]
を考える．ただし，$0<p<1$，$q>1$とする．$\overrightarrow{x}$を単位ベクトルとして，以下の問に答えよ．

(1)任意の$\overrightarrow{x}$について，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}$は直交しないことを示せ．
(2)$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|$を$q$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$が次の条件をみたすとする．
条件：任意の$\overrightarrow{x}$について$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|:|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|=1:2$となる．

(i) $p$および$q$の値を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}$が直交するとき，原点を始点として$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{q}$を図示せよ．
(iii) 実数$a$に対して，
\[ \overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}|^3}-a \frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{q}|^3} \]
とおく．任意の$\overrightarrow{x}$について，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{s}$が平行となるときの$a$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．（$n$は自然数とする．）

(1)$x=a \tan \theta$とおくことにより，定積分
\[ \int_0^a \frac{dx}{a^2+x^2} \quad (a>0) \]
を求めよ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{2n} \frac{n}{4n^2+k^2} \]
を求めよ．
(3)以下の問いに答えよ．

(i) 実数$x \geqq 0$に対して
\[ \frac{1}{1+x^2}-x^{2n+2} \leqq 1+\sum_{k=1}^n (-x^2)^k \leqq \frac{1}{1+x^2}+x^{2n+2} \]
を示せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+(-1)^n \frac{1}{2n+1} \]
により定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

各自然数$n$に対し，$X_n,\ Y_n,\ V_n,\ W_n$を
\[ X_n+Y_n \sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^{2n-1},\quad V_n-W_n \sqrt{5}=(2-\sqrt{5})^{2n-1} \]
が成り立つような整数とする．次の問いに答えよ．$\sqrt{5}$が無理数であることを証明なしで使ってもよい．

(1)$X_2,\ Y_2,\ V_2,\ W_2$の値を求めよ．
(2)$X_{n+1},\ Y_{n+1}$をそれぞれ$X_n$と$Y_n$の式で表せ．
(3)$V_{n+1},\ W_{n+1}$をそれぞれ$V_n$と$W_n$の式で表せ．
(4)$X_n^2-5Y_n^2$を計算せよ．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{X_n}{Y_n}$を計算せよ．

$3$種類の記号$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．このような記号列のなかで，$a$がちょうど偶数個含まれるようなものの総数を$g(n)$とする．ただし，$0$個の場合も偶数個とみなす．たとえば，$g(1)=2$，$g(2)=5$である．

(1)自然数$n \geqq 1$に対して$g(n+1)=g(n)+3^n$が成り立つことを示せ．
(2)$g(n)$を求めよ．
(3)一般に，$a$を含む$m$種類の記号から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．ただし，$m \geqq 2$とする．このような記号列のなかで，$a$がちょうど奇数個含まれるようなものの総数を$k_m(n)$とする．自然数$n \geqq 1$に対して，$k_m(n)$を求めよ．

平面上に長さ$1$のベクトル$\overrightarrow{n}$がある．また，$a$は$a>1$をみたす定数とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{x}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{y}$を
\[ \overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}-a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}) \overrightarrow{n} \]
により定める．ただし，$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n}$はベクトルの内積を意味し，$a(\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{n})$はその$a$倍の実数を表している．

(1)すべてのベクトル$\overrightarrow{x}$に対して$|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|$が成り立つための必要十分条件は，$a=2$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{x} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする．$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\theta$とし，$\overrightarrow{y}$と$\overrightarrow{n}$のなす角を$\phi$とする．このとき，$a$と$\cos \theta$を用いて$\cos \phi$を表せ．

座標平面の第$1$象限に曲線$\displaystyle C_0:y=\frac{1}{x}+x (x>0)$と曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$がある．$C_0$上の点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a}+a \right)$における$C_0$の接線を$\ell$とする．このとき，$\ell$は曲線$C$と$2$点で交わっているとする．

(1)このように，接線$\ell$と曲線$C$が$2$点で交わる$a$の範囲を求めよ．
(2)接線$\ell$と曲線$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)上の$(2)$で求めた面積を$S(a)$とするとき，
\[ \frac{a^3}{1-a^2}<S(a)<\frac{2a}{1-a^2} \]
が成り立つことを示せ．

$3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，内接円の半径を$r$とする．以下の問に答えよ．

(1)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$S$を求めよ．
(2)$\displaystyle S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$を証明せよ．
(3)$a=3$，$b=7$，$c=8$のとき$r$を求めよ．