次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$x>0$のとき，不等式$1+x<e^x$を示せ．
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} ne^{-n^2}$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{-n}^n (2x^2-1)e^{-x^2} \, dx$を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とする．$f(x)=x(x+a)(x-b)$とする．区間$-a \leqq x \leqq 0$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，区間$0 \leqq x \leqq b$において曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S_1$を$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$S_1=S_2$のとき，$a=b$となることを示せ．
(3)$S_1=S_2$のとき，$f(x)$は奇関数となることを示せ．また，$f(x)$が奇関数のとき，$S_1=S_2$となることを示せ．ただし，$f(x)$が奇関数であるとは，どのような$x$の値に対しても等式$f(-x)=-f(x)$が成り立つことである．

次の各問いに答えよ．

(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．

平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \neq 0 \]
を満たしていると仮定する．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，三角形$\mathrm{OBC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\mathrm{M} \neq \mathrm{P}$のとき，線分$\mathrm{MP}$と線分$\mathrm{OA}$は平行であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=t \overrightarrow{a}$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．

平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と点$\mathrm{O}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} \neq 0 \]
を満たしていると仮定する．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，三角形$\mathrm{OBC}$の外心を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$\mathrm{M} \neq \mathrm{P}$のとき，線分$\mathrm{MP}$と線分$\mathrm{OA}$は平行であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=t \overrightarrow{a}$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および実数$t$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

次の各問いに答えよ．

(1)$0$でない実数$a,\ b,\ c,\ d$が$3^a=5^b=7^c={105}^d$を満たすとき，
\[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d} \]
が成り立つことを示せ．
(2)関数$f(x)=-3mx+2n$と関数$g(x)=6x^2-2nx-m$について
\[ S=\int_0^2 f(x) \, dx,\quad T=\int_0^2 g(x) \, dx \]
とおく．ただし，$m \geqq 0$，$n \geqq 0$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(i) $S$と$T$を$m$と$n$を用いて表せ．
(ii) $S \geqq 0$，$T \geqq 0$のとき，$m+n$が最大となるような$m$と$n$を求めよ．

三角関数の加法定理を用いて，次が成り立つことを示せ．
\[ \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \]

初項$a_1=0$と漸化式
\[ a_{n+1}=(1-r) r^{n-1}+r^2a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって与えられる数列$\{a_n\}$について，次の各問に答えよ．ただし，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を，$r$を用いてそれぞれ表せ．
(2)第$n$項$a_n$を推測して，それが正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を計算し，$r,\ n$を用いて表せ．

初項$a_1=0$と漸化式
\[ a_{n+1}=(1-r)r^{n-1}+r^2a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって与えられる数列$\{a_n\}$について，次の各問に答えよ．ただし，$r \neq 0$，$r \neq 1$とする．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を，$r$を用いてそれぞれ表せ．
(2)第$n$項$a_n$を推測して，それが正しいことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を計算し，$r,\ n$を用いて表せ．