下図のような$1$辺の長さが$4$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{BP}=3$となるように取り，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{Q}$を取る．また，$\mathrm{B}$から$\triangle \mathrm{PFQ}$へ垂線$\mathrm{BK}$を下ろす．$\mathrm{BQ}$の長さを$a$として，以下の問いに答えよ．

(1)$a$を用いて$\triangle \mathrm{PFQ}$の面積を表せ．
(2)$a$を用いて$\mathrm{BK}$の長さを表せ．
(3)$\mathrm{BK}$の長さは$\displaystyle \frac{\sqrt{30a}}{5}$以下であることを示せ．
（図は省略）

$k,\ m,\ n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$2^k$を$7$で割った余りが$4$であるとする．このとき，$k$を$3$で割った余りは$2$であることを示せ．
(2)$4m+5n$が$3$で割り切れるとする．このとき，$2^{mn}$を$7$で割った余りは$4$ではないことを示せ．

$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．

$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．

$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．

$k,\ m,\ n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$2^k$を$7$で割った余りが$4$であるとする．このとき，$k$を$3$で割った余りは$2$であることを示せ．
(2)$4m+5n$が$3$で割り切れるとする．このとき，$2^{mn}$を$7$で割った余りは$4$ではないことを示せ．

$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．

$c$を実数とする．数列$\{a_n\}$は次を満たす．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{{a_n}^2+cn-4}{3n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3$を$c$を用いて表せ．
(2)$a_1+a_3 \leqq 2a_2$のとき，不等式$a_n \geqq 3 (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$を示せ．
(3)$a_1+a_3=2a_2$のとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

スイッチを押すと，$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある．表示される数字を$X$とすると，$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である．ただし，$C$は定数，$0<\alpha<1$である．

(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．

(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．

(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2}$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ -x^2-x \leqq \log (1-x) \leqq -x \]
(2)数列$\{a_n\}$を次によって定める．
\[ \begin{array}{rcl}
a_1 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 1^2} \right) \\
a_2 &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2 \cdot 2^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2 \cdot 2^2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}} \\
& \vdots & \\
a_n &=& \displaystyle \left( 1-\frac{1}{2n^2} \right) \left( 1-\frac{2}{2n^2} \right) \cdots \left( 1-\frac{n}{2n^2} \right)
\end{array} \]
このとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．