$xy$平面において，$3$次関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とし，不等式
\[ x^3-x>y>-x \]
の表す領域を$D$とする．また，$\mathrm{P}$を$D$の点とする．

(1)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する直線が$3$本存在することを示せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する$3$本の直線の傾きの和と積がともに$0$となるような$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$a>0$を実数とする．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，座標平面の$3$点
\[ (2n\pi,\ 0),\quad \left( \left(2n+\frac{1}{2} \right) \pi,\ \frac{1}{{\left\{ \left( 2n+\displaystyle\frac{1}{2} \right)\pi \right\}}^a} \right),\quad ((2n+1)\pi,\ 0) \]
を頂点とする三角形の面積を$A_n$とし，
\[ B_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} \frac{\sin x}{x^a} \, dx,\qquad C_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} \frac{\sin^2 x}{x^a} \, dx \]
とおく．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{2}{\{(2n+1)\pi\}^a} \leqq B_n \leqq \frac{2}{(2n\pi)^a} \]
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{B_n}$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{C_n}$を求めよ．

$k \geqq 2$と$n$を自然数とする．$n$が$k$個の連続する自然数の和であるとき，すなわち，
\[ n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1) \]
が成り立つような自然数$m$が存在するとき，$n$を$k$-連続和とよぶことにする．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．

(1)$n$が$k$-連続和であることは，次の条件$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$の両方が成り立つことと同値であることを示せ．

$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$は整数である．
$(\mathrm{B})$ $2n>k^2$が成り立つ．

(2)$f$を自然数とする．$n=2^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$は存在しないことを示せ．
(3)$f$を自然数とし，$p$を$2$でない素数とする．$n=p^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$の個数を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$が正の偶数のとき，$2^n-1$は$3$の倍数であることを示せ．
(2)$n$を自然数とする．$2^n+1$と$2^n-1$は互いに素であることを示せ．
(3)$p,\ q$を異なる素数とする．$2^{p-1}-1=pq^2$を満たす$p,\ q$の組をすべて求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$が正の偶数のとき，$2^n-1$は$3$の倍数であることを示せ．
(2)$p$を素数とし，$k$を$0$以上の整数とする．$2^{p-1}-1=p^k$を満たす$p,\ k$の組をすべて求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=5,\quad 4\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)$100+3 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=0$が成り立つことを示せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，
\[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=5,\quad 4\overrightarrow{\mathrm{AG}}+3\overrightarrow{\mathrm{BG}}+5\overrightarrow{\mathrm{CG}}=12\overrightarrow{\mathrm{OG}} \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)$4 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を示せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分
\[ \int_0^{\log 3} \frac{dx}{e^x+5e^{-x}-2} \]
を求めよ．
(2)$x>0$のとき，不等式
\[ \log x \geqq \frac{5x^2-4x-1}{2x(x+2)} \]
が成り立つことを示せ．

自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{ll}
f_1(x)=1-\displaystyle\frac{x^2}{2} \phantom{\frac{[　]}{2}} & \\
f_n(x)=\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{[　]}{2}} & (n \text{が偶数のとき}) \\
f_n(x)=1-\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{[　]}{2}} & (n \text{が}3 \text{以上の奇数のとき})
\end{array} \]
次の問いに答えよ．ただし必要があれば，$0<x \leqq 1$のとき$\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}<\sin x<x$が成り立つことを用いてよい．

(1)関数$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ -\frac{x^4}{4!} \leqq f_1(x)-\cos x \leqq \frac{x^4}{4!} \]
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式
\[ -\frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \leqq f_{2m-1}(x)-\cos x \leqq \frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \]
がすべての自然数$m$に対して成り立つことを示せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{m \to \infty} f_{2m-1} \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．

自然数を$2$個以上の連続する自然数の和で表すことを考える．たとえば，$42$は$3+4+\cdots +9$のように$2$個以上の連続する自然数の和で表せる．次の問いに答えよ．

(1)$2020$を$2$個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ．
(2)$a$を$0$以上の整数とするとき，$2^a$は$2$個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ．
(3)$a,\ b$を自然数とするとき，$2^a(2b+1)$は$2$個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ．