数列$\{a_n\}$の初項を$a \neq 0$とし，初項から第$n$項までの和を
\[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
とする．また，数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2a_n+\frac{3}{2}a-S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の初項$b$を$a$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{b_n\}$も等比数列になることを示せ．
(3)数列$\{b_n\}$が公比$\displaystyle \frac{1}{3}$の等比数列ならば，数列$\{a_n\}$も等比数列になることを示せ．

次の各問に答えよ．なお，整数$a,\ b,\ c$について，$a=bc$と表されるとき，$a$は$b$の倍数であるという．

(1)$x$は実数とする．不等式$x^4-x^2-20<0$を解け．
(2)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数

(3)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数

$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，$a_n=2^n$とする．自然数$N$に対して，$a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_N$から重複なしにいくつかを選んで和をとるという操作を考える．例えば，$N=1$のときには，この操作によって自然数$1,\ 2,\ 3$を作ることができる（$1=a_0,\ 2=a_1,\ 3=a_0+a_1$）．次の問いに答えなさい．

(1)$N=2$のとき，$7$以下のすべての自然数をこの操作によって作りなさい．
(2)この操作によって作ることのできる最大の自然数は$2^{N+1}-1$であることを示しなさい．
(3)自然数$N$に対して，$2^{N+1}-1$以下のすべての自然数をこの操作によって作ることができる．このことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(4)この操作によって$253$を作ることのできる最小の$N$の値を求めなさい．

以下の命題$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれに対し，その真偽を述べよ．また，真ならば証明を与え，偽ならば反例を与えよ．

命題$\mathrm{A}$ \quad $n$が正の整数ならば，$\displaystyle \frac{n^3}{26}+100 \geqq n^2$が成り立つ．
命題$\mathrm{B}$ \quad 整数$n,\ m,\ \ell$が$5n+5m+3 \ell=1$をみたすならば，$10nm+3m \ell+3n \ell<0$が成り立つ．

$a$を正の実数とし，$p$を正の有理数とする．座標平面上の$2$つの曲線$y=ax^p (x>0)$と$y=\log x (x>0)$を考える．この$2$つの曲線の共有点が$1$点のみであるとし，その共有点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．必要であれば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^p}{\log x}=\infty$を証明なしに用いてよい．

(1)$a$および点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$p$を用いて表せ．
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$p$を用いて表せ．
(3)$(2)$で得られる立体の体積が$2 \pi$になるときの$p$の値を求めよ．

数列$\{p_n\}$を次のように定める．
\[ p_1=1,\quad p_2=2,\quad p_{n+2}=\frac{p_{n+1}^2+1}{p_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$\displaystyle \frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$が$n$によらないことを示せ．
(2)すべての$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対し，$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ．
(3)数列$\{q_n\}$を次のように定める．
\[ q_1=1,\quad q_2=1,\quad q_{n+2}=q_{n+1}+q_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$p_n=q_{2n-1}$を示せ．

$n$を正の整数とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$g(x)$を次のように定める．
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{\cos (\pi x)+1}{2} & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
$f(x)$を連続な関数とし，$p,\ q$を実数とする．$\displaystyle |x| \leqq \frac{1}{n}$をみたす$x$に対して$p \leqq f(x) \leqq q$が成り立つとき，次の不等式を示せ．
\[ p \leqq n \int_{-1}^1 g(nx)f(x) \, dx \leqq q \]
(2)関数$h(x)$を次のように定める．
\[ h(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle -\frac{\pi}{2} \sin (\pi x) & (|x| \leqq 1 \text{のとき}) \\
0 & (|x|>1 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
このとき，次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} n^2 \int_{-1}^1 h(nx) \log (1+e^{x+1}) \, dx \]

四面体$\mathrm{ABCD}$がある．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一平面上にあり，四面体のどの頂点とも異なるとする．このとき下記の設問に答えよ．

(1)$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行であるとき，等式
\[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}=1 \]
が成り立つことを示せ．
(2)$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{RS}$が平行でないとき，等式
\[ \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RD}} \cdot \frac{\mathrm{DS}}{\mathrm{SA}}=1 \]
が成り立つことを示せ．

平面において，一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{OA}$と垂直な直線上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{OB}$と垂直な直線上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{Q}$をとる．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$を示せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\alpha$とする．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\pi-\alpha$であることを示せ．

(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}$を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，$(a,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線がただ$1$つ存在することを示せ．
(2)$a_1=1$として，$n=1,\ 2,\ \cdots$について，$(a_n,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線の接点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)$を求めよ．