原点をOとする座標空間において，2点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$から等距離にある点の集合を平面Hとする．次の問いに答えよ．

(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$\alpha$を$2$次方程式$x^2-4x-1=0$の解とするとき，$(\alpha-a)(\alpha-b)=1+c$を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点$(s,\ t)$で$s$と$t$のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq 3x^2-12x-3 \\
y \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．$k^2-4k-1<0$を満たす整数$k$に対して，直線$\ell:x=k$上にあり，かつ，$D$に含まれる格子点の個数を$N_k$とする．

(i) $N_k$を$k$を用いて多項式で表せ．
(ii) $D$に含まれる格子点の総数を求めよ．

$xy$平面上に点P$_0$を原点とし，点P$_1$，P$_2$，$\cdots$，P$_n$が$y$軸上の正の部分にこの順に並んでいる．$y=x^2 \ (x>0)$上に点Q$_1$，Q$_2$，$\cdots$，Q$_n$がこの順に並んでおり，$k=1$から$n$に対し，$\angle \text{Q}_k \text{P}_{k-1} \text{P}_k= \angle \text{Q}_k \text{P}_k \text{P}_{k-1} = \theta$が成り立っている．$\displaystyle \frac{1}{\tan \theta}=t$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)点P$_1$，P$_2$，P$_3$の座標を求めよ．
(2)P$_n(0,\ y_n)$，Q$_n(x_n,\ x_n^2)$とするとき，$y_n$を$x_{n+1}$で表せ．
(3)点P$_n$の座標を推測して，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

ある自然数$k \geqq 3$に対して行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \ $（ただし$b \neq 0$）が，$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，逆行列を$a,\ b,\ p$で表せ．

負でない実数を$a$とする．$xy$平面上で$\displaystyle 0 \leqq x \leqq a,\ 0 \leqq y \leqq \frac{1}{1+x}$を満たす領域を$A$とし，$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_1$，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$V_1$を求めよ．
(2)$V_2$を求めよ．
(3)$V_1-V_2$が最大となるときの$a$の値を$p$とおく．$p$を求め，$p<1$を示せ．
(4)$p<a<1$において$V_1=V_2$となる$a$が存在することを示せ．ただし，$\log 2<0.7$を使用してもよい．

座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$C$上の$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を原点に関して対称な位置にとる．また，点$\mathrm{Q}$を平面上の任意の点とし，$L={\mathrm{QP}_1}^2+{\mathrm{QP}_2}^2$とおく．

(1)$\mathrm{Q}$を固定したとき，$L$は$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$のとり方に依存せず一定であることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$が放物線$y=-x^2+5x-8$上を動くとき，$L$の最小値とそのときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

関数列
\[ f_n(x)=x^{n-1},\quad g_n(x)=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}f_k(x) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle F_n(x) = \int_0^x f_n(t) \, dt$を求めよ．
(2)$\{g_n(x)\}$が数列として収束するための実数$x$の条件を求めよ．また，$x$がこの条件を満たすとき$\displaystyle g(x)=\lim_{n \to \infty}g_n(x)$とおく．
\[ \int_0^x g(t) \, dt \]
を求めよ．
(3)(1)の$F_n(x)$について
\[ -F_{n+1}(1) \leqq \int_0^1 \frac{(-1)^n f_{n+1}(t)}{1+t} \, dt \leqq F_{n+1}(1) \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)無限級数
\[ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^{n-1} \frac{1}{n}+\cdots \]
の収束，発散について調べ，収束すればその和を求めよ．

$a,\ b,\ p,\ q$を実数として，未知数$x$の方程式
\[ p(x^2+ax+b) +x-q=0 \cdots (*) \]
を考える．

(1)$p$がどのような値であっても方程式$(*)$がつねに実数解をもつためには，$a^2-4b \geqq 0$が必要条件であることを示せ．
(2)$a^2-4b \geqq 0$とし，$\alpha,\ \beta \ (\alpha \leqq \beta)$を方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの実数解とする．このとき，$p$がどのような値であっても方程式$(*)$がつねに実数解をもつのは$q$がどのような範囲$R$にあるときか答えよ．
(3)$a^2-4b \geqq 0$で$q$が$(2)$で求めた範囲$R$にあるとき，方程式$(*)$は範囲$R$に少なくとも$1$つの解をもつことを示せ．

関数$\displaystyle f_n(x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \ $(ただし$x \geqq 0,\ n=1,\ 2,\ \cdots$)について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)$を求めよ．
(2)$n$が偶数のとき，$f_n(x) \leqq \log (1+x)$，$n$が奇数のとき$f_n(x) \geqq \log (1+x)$であることを示せ．
(3)(2)を利用して$\displaystyle \log \frac{6}{5}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{1}{250}+\frac{1}{251}+\cdots +\frac{1}{299}+\frac{1}{300}$の値を，小数第3位を四捨五入して小数第2位まで求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$\alpha$を$2$次方程式$x^2-4x-1=0$の解とするとき，$(\alpha-a)(\alpha-b)=1+c$を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
(3)座標平面上の点$(s,\ t)$で$s$と$t$のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq 3x^2-12x-3 \\
y \leqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．$k^2-4k-1<0$を満たす整数$k$に対して，直線$\ell:x=k$上にあり，かつ，$D$に含まれる格子点の個数を$N_k$とする．

(i) $N_k$を$k$を用いて多項式で表せ．
(ii) $D$に含まれる格子点の総数を求めよ．