$a,\ b$は実数とする．$2$次正方行列 $A$があって，
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right) \quad \text{かつ} \quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right) \]
が成り立っている．

(1)$ab \neq 1$のとき$A$を求めよ．
(2)$ab=1$のとき，$a$を求め，この$a$の値に対して上の条件を満たす行列$A$が$2$個以上あることを示せ．

実数$a,\ b,\ c,\ d$に対し$x$の3次の整式$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$を考える．ただし，$ad \neq 0$とする．方程式$P(x) = 0$の3つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とすると$P(x) =a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$であることが知られている．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)積$\alpha \beta \gamma$，和$\alpha+ \beta + \gamma$，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}+ \frac{1}{\gamma}$を，それぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)もし$\alpha$が実数でないならば，方程式$P(x) = 0$は$\alpha$の共役な複素数$\overline{\alpha}$を解に持つことを証明しなさい．
(3)解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか，考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
(4)もし$ad > 0$ならば，解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち正の実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか．考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．

以下の問いに答えなさい．

(1)任意の整数$m$に対して，$m^2$を$3$で割ると余りは$0$または$1$になることを示しなさい．
(2)整数$a,\ b,\ c$が$a^2 +b^2 = c^2$を満たしているとすると，積$ab$は$12$で割り切れることを示しなさい．

正の実数からなる2つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，$n \geqq 3$について
\[ a_n = \frac{a_{n-1} +a_{n-2}}{2},\ b_n = \sqrt{b_{n-1}b_{n-2}} \]
をみたすものとする．次の問いに答えよ．

(1)$\{a_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とすると，$\{c_n\}$は等比数列になることを示し，その公比を求めよ．
(2)$n \geqq 3$について$a_n$を$a_1,\ a_2,\ n$を用いて表せ．
(3)$b_1 = 1,\ b_2 = 2$のとき，$n \geqq 3$について$\log_2 b_n$を$n$を用いて表せ．

実数$r$に対し，$n \leqq r < n+1$となる整数$n$を$[ \; r \; ]$と表すことにする．正の整数$m$について，$f(m) = [ \; m - \log_2 (m+1) \; ]$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$m+1 = 2^s$となる整数$s$があれば，$f(m+1) = f(m)$となることを示せ．
(2)$m+1 = 2^s$となる整数$s$がなければ，$f(m+1) = f(m) +1$となることを示せ．

$a,\ b$を正の実数とし，座標平面上の放物線$C : y = ax^2 +b$を考える．$t,\ s$は正の実数とし，点P$(t,\ at^2 +b)$における$C$の接線を$\ell_P$，点Q$(s,\ as^2 +b)$における$C$の接線を$\ell_Q$で表す．$\ell_P$は原点を通っているとする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell_P$の傾きが1未満となるための必要十分条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$\ell_P$の傾きは1未満とし，$\ell_P$と$x$軸がなす鋭角を$\theta$と表す．Qを$\ell_Q$と$x$軸のなす鋭角が$2\theta$になるようにとるとき，$\ell_Q$の傾きを$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすとき，$\ell_P$の傾きは1未満であることを示せ．
(4)$a,\ b$は$\displaystyle a+b = \frac{1}{2}$をみたすものとし，Qを(2)のようにとる．$\ell_Q$の傾きが最大になるような$a,\ b$を求めよ．

$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)2次正方行列$X,\ Y$が共に逆行列をもてば，積$XY$も逆行列をもつことを示せ．
(2)すべての実数$s$について，$A+sE$は逆行列をもつことを示せ．
(3)すべての実数$t$について，$A^2+3tA+2t^2E$は逆行列をもつことを示せ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \ $(ただし$b \neq 0$)が，ある自然数$k \geqq 3$に対して$A^k=O$(零行列)を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)行列$A$は逆行列を持たないことを示せ．
(2)$A^2=O$であることを示せ．
(3)$0$でない実数を$p$，単位行列を$E$とおく．$A-pE$が逆行列を持つことを示し，それを$a,\ b,\ p$で表せ．

一辺の長さが$2a$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする高さ$h$の正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．ここで，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$，$\mathrm{OD}$の長さはすべて等しい．正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$に内接する球を$Q_1$とし，また正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$の$4$つの側面と$Q_1$に接する球を$Q_2$とする．以下同様にして球$Q_3,\ Q_4,\ \cdots,\ Q_n$をつくる．次の問いに答えよ．

(1)球$Q_1$の半径$r_1$を求めよ．
(2)球$Q_{k+1}$の半径$r_{k+1}$を球$Q_k$の半径$r_k$で示せ．
(3)球$Q_n$の体積を$a,\ h,\ n$で示せ．
(4)$h=2\sqrt{2}a$のとき，球$Q_1,\ Q_2,\ Q_3,\ \cdots,\ Q_n$の体積の和を$a,\ n$で示せ．

次の各問に答えなさい．

(1)$\displaystyle \frac{1}{7}$を小数で表したとき，小数点以下第$2010$位の数を求めなさい．
(2)$X,\ Y$を正の実数，$a$を$1$と異なる正の実数とするとき，次の等式を証明しなさい．
\[ \log_a XY=\log_a X+\log_a Y \]