一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:1-t (0 \leqq t \leqq 1)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{BPC}=\theta$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．次数が$n$の多項式$P(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$について$a_1=P^\prime(0)$であることを確かめよ．ただし，$P^\prime(0)$は$P(x)$の$x=0$における微分係数である．
(2)自然数$n$に対して，$f_n(x)=(x+1)(x+2) \cdots (x+n)$で与えられる$n$次多項式$f_n(x)$の$1$次の係数を$c_n$とする．$f_{n+1}(x)=(x+n+1)f_n(x)$を用いて，$c_{n+1}=n!+(n+1)c_n$が成り立つことを示せ．また，それを用いて，$\displaystyle c_n=n! \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right)$であることを示せ．

数列$\{a_n\}$を$a_1=1$，$a_2=2$，$a_n=a_{n-1}+a_{n-2} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$により定義すると，$a_n$は整数である．次の問いに答えよ．

(1)この数列の連続する$3$項の和は常に偶数であることを示せ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n (-1)^j a_j=-a_1+a_2- \cdots +(-1)^na_n$とおくと，$S_n=(-1)^n a_{n-1} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．

次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}$とするとき，
\[ (1-t)\mathrm{AB}^2+t \mathrm{AC}^2=\mathrm{AD}^2+\frac{1-t}{t} \mathrm{BD}^2 \]
が成り立つことを示せ．ただし$0<t<1$とする．
(2)$f(x)=x^3+ax^2+bx$とする．ただし，$a,\ b$は実数で$a>0$とする．方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解を持ち，関数$y=f(x)$が異なる$2$点$x=\alpha$，$x=\beta$で極値をとるとき，$\alpha,\ \beta$はいずれも負であることを示せ．
(3)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2-1 \\
y \leqq -x^2+3x+1 \\
x \geqq 0
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．

$n \geqq 5$を満たす自然数$n$に対して$n^2<2^n$が成り立つことを証明せよ．

空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$を考える．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を示し，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面に点$\mathrm{C}$から下ろした垂線の足を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は実数$s,\ t$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表される．$s,\ t$の値を求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする四面体の体積を求めよ．

実数$A,\ B$に対して方程式$x^2-Ax+B=0$の解を$p,\ q$とする．ただし$B \neq 0$とする．

(1)自然数$n$に対して$b_n=p^n+q^n$とおくとき，$b_{n+2}-Ab_{n+1}+Bb_n=0$が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して$a_n=(p^{-n}+q^{-n})(p+q)^n$とするとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ A,\ B$で表せ．
(3)$\displaystyle A=\frac{9}{2},\ B=\frac{3}{4}$とおくとき，$a_n$は任意の自然数$n$に対して整数となることを示せ．

$x \geqq 0$の範囲で関数$y=\sqrt{x}e^{-x}$のグラフを$C$とする．

(1)$C$の概形を描け．ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$は証明せずに使ってよい．
(2)$M>0$とする．曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体のうち，$x \leqq M$の部分の体積$V(M)$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{M \to \infty}V(M)$を求めよ．

以下の設問に答えよ．

(1)「$14$で割り切れ，$11$で割ると$1$余る」自然数の中で最小のもの$k$を求めよ．
(2)自然数$22+77+k$は，次の条件を満たすことを示せ．
$(*)$ \quad $2,\ 7,\ 11$のどれで割っても$1$余る
(3)$(*)$を満たす自然数$n$で，$400 \leqq n \leqq 700$であるものをすべて求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$は，$7 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{D}$が同一直線上にあることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{PBD}$と$\triangle \mathrm{PCA}$の面積の比を求めよ．