$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で曲線$C:y=x |x-k|$（ただし$k$は正の定数）と直線$\ell:y=mx$が原点以外に$2$点$\mathrm{P}(\alpha,\ m \alpha)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ m \beta)$で交わっている．ただし$0<\alpha<\beta$とする．

(1)$m$の範囲を$k$で表せ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積の和$S$を$m$と$k$で表せ．
(3)$S$が最小となるときの$m$を$k$で表せ．
(4)$(3)$のとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OP}}=\sqrt{2}$であることを示せ．

$xy$平面上の点$(x_1,\ y_1)$に対して，点$(x_2,\ y_2)$，$(x_3,\ y_3)$，$\cdots$を次の式で順に定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \right)=\left\{ \begin{array}{ll}
\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array} \right) & (y_n \geqq 0 \text{のとき}) \\
\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x_{n} \\
y_{n}
\end{array} \right) & (y_n<0 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
以下の問に答えよ．

(1)$(x_1,\ y_1) = (-1,\ 2)$のとき，$(x_3,\ y_3)$を求めよ．
(2)$(x_1,\ y_1) = (1,\ 0)$のとき，$(x_5,\ y_5)$を求めよ．
(3)$x_1>0$かつ$y_1>0$のとき，$(x_4,\ y_4) = (x_1,\ y_1)$となることを示せ．
(4)$(x_n,\ y_n)=(x_1,\ y_1)$となる$2$以上の整数$n$が存在しないとき，点$(x_1,\ y_1)$はどのような範囲にあるかを図示せよ．

$a$は定数で，$a>1$とする．座標平面において，

円 \quad $C:x^2+y^2=1$
直線 \ $\ell:x=a$

とする．
$\ell$上の点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とするとき，直線$\mathrm{AB}$は，点$\mathrm{P}$によらず，ある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．

$n$を正の整数とする．

(1)$x>y>0$とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ x^{n+1}-y^{n+1} > (n+1)(x-y)y^n \]
(2)$\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$と$\displaystyle \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}$の大小を比較せよ．

次の命題の真偽を述べよ．また，真であるときは証明し，偽であるときは反例（成り立たない例）をあげよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$n$は自然数とする．

(1)$x$が無理数ならば，$x^2$と$x^3$の少なくとも一方は無理数である．
(2)$x+y,\ xy$がともに有理数ならば，$x,\ y$はともに有理数である．
(3)$n^2$が$8$の倍数ならば，$n$は$4$の倍数である．

$n$が$2$以上の自然数のとき，
\[ 2^{2^n}-6 \]
は$10$で割り切れることを示せ．

$a$を正の実数とし，関数$y=x^2+a$のグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$において$C$に接線$\ell$をひき，$\ell$と$y=x^2$のグラフの交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{R}$の$x$座標を$\beta$とするとき，$|\alpha-\beta|$は$\mathrm{P}$の取り方によらないことを証明せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さを，それぞれ$a,\ b,\ c$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{C}$が$90^\circ$のとき，$\sin^2 A+\sin^2 B=1$であることを示せ．
(2)$\sin B=2 \sin A \cos C$，$a:b=1:\sqrt{3}$，$c=3$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

図$1$はある町の道路を直線で示したものである．以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで遠回りをしないで行く最短の道順は全部で$[　]$通りある．
(2)図$2$のように点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$を結ぶ道路が工事中のため通行止めになった．このとき，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで遠回りをしないで行く最短の道順は$[　]$通りある．

行列$P$で表される$1$次変換によって平面上の点$(-2,\ 1)$と点$(1,\ 1)$が，それぞれ点$(-1,\ 3)$，点$(2,\ 6)$に移る．

(1)$P$を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$に対して行列
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
a & b \\
-5 & 8
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
c & 0 \\
0 & d
\end{array} \right) \]
が
\[ AP=PB \]
を満たしているとする．このとき，$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)$P$が逆行列$P^{-1}$をもつことを示し，$(PBP^{-1})^2$を求めよ．
(4)自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．