$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

(1)$\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．

$n$を自然数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の$n$個の積を
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right) \]
とする．$ad-bc=3$のとき，次の問いに答えよ．ただし，$a_1=a,\ b_1=b,\ c_1=c,\ d_1=d$である．

(1)$a_nd_n-b_nc_n=3^n$を数学的帰納法によって証明せよ．
(2)$a+d=1$のとき，$a_3+d_3$を求めよ．
(3)$a+d=0$のとき，$a_n+d_n$を求めよ．

$a$を$0$でない実数とする．
\begin{align}
& C_1 : y = x^2+(a+1)x-a(2a+1) \nonumber \\
& C_2 : y = -x^2+(3a+1)x+a(2a-1) \nonumber
\end{align}
で表される曲線$C_1$と曲線$C_2$について，以下の各問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$交点をもつことを示せ．
(2)$C_1$と$C_2$の$2$交点を通る直線$\ell(a)$の方程式を求めよ．また，$\ell(a)$が$a$の値に関係なく必ず通る定点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)(2)で求めた定点$\mathrm{P}$が$C_1$と$C_2$の$2$交点を結んだ線分上にあるような$a$の値の範囲を求めよ．

$\triangle$OABの面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}$となることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=x,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BO}}=y,\ \overrightarrow{\mathrm{BO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=z$のとき，$S$を$x,\ y,\ z$の式で表せ．

数列$\{a(n)\}$を$a(1)=1$および$n \geqq 1$に対して
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a(2n) = 3a(n) \\
a(2n+1)=2a(n)+a(n+1)
\end{array}
\right. \]
で定義する．以下の問いに答えよ．

(1)$a(2),\ a(3),\ a(4),\ a(5)$を求めよ．

次に数列$\{b(n)\}$を$b(1)=a(1)$および$n \geqq 2$に対して
\[ b(n)=a(n)-a(n-1) \]
で定義する．

\mon[(2)] $b(2),\ b(3),\ b(4),\ b(5)$を求めよ．
\mon[(3)] すべての自然数$n$に対して，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
b(2n) = 2b(n) \\
b(2n+1)=b(n+1)
\end{array}
\right. \]
が成り立つことを証明せよ．
\mon[(4)] 自然数$k$に対して$b(2^k)$および$b(2^k+1)$を計算せよ．
\mon[(5)] 自然数$k$に対して$a(2^k-1)$を計算せよ．

実数$a$に対し，
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & a-2 \\
a+1 & -3
\end{array} \biggr),\quad E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての$a$に対して$A$が逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列を求めよ．
(2)$E-A$が逆行列をもたないような$a$の値を求めよ．

以下では，$a$を(2)で求めた値のうち正のものとする．

\mon[(3)] $A \biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
b \\
3
\end{array} \biggr)$となる$b$を求めよ．また，$A \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)=k \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \biggr)$となる$k$を求めよ．
\mon[(4)] $b$を(3)で求めた値とし，$P=\biggl( \begin{array}{cc}
b & 0 \\
3 & 1
\end{array} \biggr)$とする．$AP=PQ$となる2次の正方行列$Q$を求めよ．
\mon[(5)] 自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

関数$f(x)$は，すべての実数$x$に対して$f(x+2\pi)=f(x)$を満たす連続な関数とし，$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t) \, dt>0$とする．さらに
\[ g(x)=x^3+(3x^2-1) \int_0^\pi f(2t+x) \, dt \]
とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_0^a f(t) \, dt=\int_{2 \pi}^{a+2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(2)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_a^{a+2\pi} f(t) \, dt=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)関数$g(x)$は3次関数であることを示せ．
(4)関数$g(x)$の極大値と極小値を$\displaystyle c=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$を用いて表せ．
(5)方程式$g(x)=0$の異なる実数解がちょうど2個のとき，$c$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$0<x<1$で，$(\sqrt{2}-1)x+1<\sqrt{1+x}<\sqrt{2}$が成り立つことを示せ．
(2)$0<a<1$に対して定積分$\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x} \, dx$，$\displaystyle \int_a^1 x\sqrt{1-x} \, dx$を計算せよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 1-0}\frac{\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x^2} \, dx}{(1-a)^{\frac{3}{2}}}$を求めよ．

座標平面上の原点O$(0,\ 0)$，点A$(1,\ 0)$，点B$(1,\ 1)$，点C$(0,\ 1)$および点P$(a,\ b)$に対して，点Pを原点のまわりに$90^\circ$回転した点をQ，点Qを点Aのまわりに$90^\circ$回転した点をR，点Rを点Bのまわりに$90^\circ$回転した点をS，また点Pを点Cのまわりに$-90^\circ$回転した点をUとする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)点Rの座標を求めよ．
(2)点Uの座標を求めよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{US}}$は$a,\ b$に無関係であることを示せ．
(4)3点B，R，Uが一直線上にあるための必要十分条件を求めよ．ただし，2点あるいは3点が重なっている場合も，3点は一直線上にあるものとする．

自然数$n$に対して，
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx \]
とおく．次の問に答えよ．

(1)定積分$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(2)次の不等式を証明せよ．
\[ I_n \geqq I_{n+1}\]
(3)次の漸化式が成り立つことを証明せよ．
\[ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n \]
(4)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}} \]