以下の問いに答えなさい．

(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle S(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}k^2,\ T(n)=\sum_{k=1}^{12n+3}(2k-1)$とおくとき$S(n)-T(n)$が正の奇数となることを証明しなさい．
(2)関数$f(x)$が次の関係を満たすものとする．
\[ \int_{-u}^0 t \{ \frac{d}{dt} f(t+u) \} \, dt=-e^{-u} \cos u+uf(0)-u+1 \]
このとき，$z=t+u$という置き換えを利用して$\displaystyle \int_0^u f(z) \, dz$を求めなさい．
(3)整式$P_1(x)$は，$x^2-(a+1)x+a$で割ると$2x+b$余り，整式$P_2(x)$は，$x^2-(b-2)x-2b$で割ると$x-a$余る．$P_1(a)=2P_2(b)$のとき，$a$と$b$の関係を求めなさい．

$xy$平面上に直線$\ell:y=x+2$と曲線$C:y=1-x^2$がある．直線$\ell$上を動く点Pから曲線$C$に異なる2本の接線を引き，接点をQ，Rとする．線分QRの中点をMとするとき，次の問いに答えよ．

(1)点Pの$x$座標を$t$とし，2点Q，Rの$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=2t$および$\alpha\beta=-(t+1)$を示せ．
(2)点Mの軌跡は曲線$y=-2x^2-x$であることを示せ．
(3)点Mの軌跡と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とするとき，関数$f(x)=ax^2+bx+c$に対して，関数$F(x)$を$\displaystyle F(x)=\int_0^x (x+1-t)f(t) \, dt$により定める．次の問いに答えよ．

(1)$F^{\prime\prime}(x)=f(x)+f^{\prime}(x)$および$F^{\prime}(0)=f(0)$を示せ．
(2)$a=1,\ b=c=0$のとき，$F(x)$を求めよ．
(3)$F(x)=x^4+x^2+26x$となるように，$a,\ b,\ c$の値を定めよ．

数列$\{x_n\}$が
\[ x_1=1,\quad x_{n+1}=3x_n+\frac{1}{2^{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)$x_2,\ x_3$を求めよ．
(2)$\displaystyle a_n=\frac{x_n}{3^n}$で定まる数列$\{a_n\}$は
\[ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{6^{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(3)数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n-3^nc)=0$となる定数$c$を求めよ．

四角形ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{DA}}|^2$を示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$を示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を示せ．

原点を中心とする半径1の円を$C_1$とする．$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たす定数$\theta$に対して，$C_1$上に点P$(\sin \theta,\ \cos \theta)$，点Q$(-\cos \theta,\ -\sin \theta)$，点R$(-\sin \theta,\ -\cos \theta)$をとる．さらに，Pを中心とし，Qを通る円を$C_2$，Rを中心とし，Qを通る円を$C_3$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C_2$と$C_3$の2つの交点のうち，Qと異なる点をSとする．このとき，$C_1$はSを通ることを証明せよ．
(2)Sの座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$C_2$と$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

\mon[(ア)] $\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
\mon[(イ)] $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．

(2)実数$x,\ y$が連立不等式$4x-3y \geqq 1,\ -2x+6y \geqq 1$を満たすとき，$\log_8(4^x+8^y)$の最小値を求めよ．

$p$を0でない実数とし，行列$A,\ B$をそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
p-\frac{1}{p} & 1 \\
2 & -p
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{1}{p} & -1
\end{array} \biggr) \]

(1)等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
(2)$AB=C$とおく．$E+C$の逆行列が存在することを示し，さらに自然数$m$に対して等式
\[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$p=\sqrt{3}$とし，自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく．行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする．$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ．

$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

(1)$\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．

$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

(1)$\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．