関数$f(t)=2(\cos t-\sin t),\ g(t)=\cos t+\sin t$を用いて媒介変数表示された，$xy$平面上の曲線$C:x=f(t),\ y=g(t)$がある．点A$\displaystyle \left( \frac{3}{4},\ \frac{3}{2} \right)$から$C$上の点P$(f(t),\ g(t))$までの距離APの2乗$\text{AP}^2$を$h(t)$とおく．

(1)$\displaystyle \frac{d}{dt}h(t)=0$となる$t$の値を$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲ですべて求めよ．
(2)$C$は楕円であることを示せ．
(3)Pが$C$上を動くとき，APを最小にするPの座標，およびAPを最大にするPの座標を求めよ．

$n$を自然数とするとき，
\[ 2\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}k(k-1)=(-1)^{n+1}n^2+\frac{(-1)^n-1}{2} \]
が成り立つことを示しなさい．

$3$辺が$\mathrm{AB}=4,\ \mathrm{BC}=6,\ \mathrm{CA}=5$である$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めなさい．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めなさい．
(3)$\mathrm{OB} \perp \mathrm{AD}$を示しなさい．

次の初項と漸化式で定まる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．

平面上に円$S$と6点A，B，C，D，E，Fがある．A，B，Cは$S$上の異なる3点で，この順番で反時計回りに並んでいる．線分ABをAの側に延長した半直線上に点Dがある．$\angle \text{CAD}$を二等分する直線$\ell$と円$S$は異なる2点で交わり，それらはAとEである．さらに，EはCを含まない$S$上の弧AB上にある．また，$\ell$は線分BCをCの側に延長した半直線と交わり，その交点がFである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)題意にしたがって，円$S$，三角形ABCおよび点D，E，Fを描け．
(2)三角形ACFと三角形AEBが相似であることを証明せよ．
(3)$\text{AB} \cdot \text{EF}=\text{EB} \cdot \text{BF}$となることを証明せよ．

自然数$n$に対して，
\[ 2\sqrt{n+1}-2 < 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \leqq 2\sqrt{n}-1 \]
が成り立つことを示せ．

右図のような三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱$\mathrm{ABC}$-$\mathrm{DEF}$を考える．
\img{177_2307_2010_1}{10}


(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5,\ \mathrm{BC}=3,\ \mathrm{AD}=10$とする．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形 \\
$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正三角形となると \\
き，その正三角形の面積を求めよ．
(2)底面がどのような三角形であっても高さが十分に高ければ，三角形 \\
$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{DEF}$とに交わらない平面$H$と三角柱との交わりが正 \\
三角形となりうることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)連立不等式
\[ |\,2x+3y\,| \leqq 5,\quad |\,3y-2x\,| \leqq 3 \]
で表されるような$xy$平面上の領域を図示せよ．
(2)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$に対し，OAとOBを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積は，$|\,ad-bc\,|$であることを示せ．
(3)行列$\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr)$について
\[ \biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr) \biggl( \begin{array}{cc}
s & t \\
u & v
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{cc}
k & \ell \\
m & n
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，
\[ (ad-bc)(sv-tu) = (kn-\ell m) \]
を示せ．
(4)実数$a,\ b,\ c,\ d$が$ad-bc \neq 0$をみたし，正の実数$h,\ k$が$hk=|\,ad-bc\,|$をみたすとき，
\[ |\,ax+by\,| \leqq h,\quad |\,cx+dy\,| \leqq k \]
で表されるような$xy$平面上の領域の面積は$a,\ b,\ c,\ d,\ h,\ k$によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{1+e^x}$について下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$がただ$1$つの極大値をもつことを示せ．また，そのときの$x$の値を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の整式で表せ．
(2)$f(\alpha)<1$を示せ．