「証明」について
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国立 愛媛大学 2010年 第6問2つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$は，すべての自然数$n$について
\[ a_{n+1}=\frac{a_n}{1-b_n^{\ 2}},\quad b_{n+1}=a_{n+1}b_n \]
をみたしているとする．
(1)初項が$\displaystyle a_1=b_1=\frac{1}{2}$であるとする．
\mon[(i)] $a_2,\ b_2,\ a_3,\ b_3$を求めよ．
\mon[(ii)] $a_n,\ b_n$を表す$n$の式を推定し，それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．
(2)初項が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2010},\ b_1=\frac{2009}{2010}$であるとする．
\mon[(i)] $a_{n+1}+b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$で表せ．
\mon[(ii)] $a_n+b_n$を求めよ．
\[ a_{n+1}=\frac{a_n}{1-b_n^{\ 2}},\quad b_{n+1}=a_{n+1}b_n \]
をみたしているとする．
(1)初項が$\displaystyle a_1=b_1=\frac{1}{2}$であるとする．
\mon[(i)] $a_2,\ b_2,\ a_3,\ b_3$を求めよ．
\mon[(ii)] $a_n,\ b_n$を表す$n$の式を推定し，それらの推定が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．
(2)初項が$\displaystyle a_1=\frac{1}{2010},\ b_1=\frac{2009}{2010}$であるとする．
\mon[(i)] $a_{n+1}+b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$で表せ．
\mon[(ii)] $a_n+b_n$を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第2問平面上に一辺の長さが1の正五角形があり，その頂点を順にA，B，C，D，Eとする．次の問いに答えよ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
国立 長崎大学 2010年 第7問4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．
\begin{screen}
自然数$k,\ l,\ m$が次の条件
\mon[(イ)] $k$と$l$は1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)] $k$は$lm$の約数である
を満たすならば，$k$は$m$の約数である．
\end{screen}
(1)$a,\ b,\ c,\ d$は整数で，$d \neq 0$とする．次の方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \]
が有理数の解$r$をもつとき，$|\,r\,|$は自然数であり，かつ$|\,d\,|$の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
\[ 2x^4-2x-1=0 \]
の実数解はすべて無理数であることを証明せよ．
\begin{screen}
自然数$k,\ l,\ m$が次の条件
\mon[(イ)] $k$と$l$は1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)] $k$は$lm$の約数である
を満たすならば，$k$は$m$の約数である．
\end{screen}
(1)$a,\ b,\ c,\ d$は整数で，$d \neq 0$とする．次の方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \]
が有理数の解$r$をもつとき，$|\,r\,|$は自然数であり，かつ$|\,d\,|$の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
\[ 2x^4-2x-1=0 \]
の実数解はすべて無理数であることを証明せよ．
国立 佐賀大学 2010年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)等式$\displaystyle 2 \sin k\theta \sin \frac{\theta}{2}=\cos \left( k-\frac{1}{2} \right) \theta - \cos \left( k+\frac{1}{2} \right) \theta$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \sin k\theta$を求めよ．
(1)等式$\displaystyle 2 \sin k\theta \sin \frac{\theta}{2}=\cos \left( k-\frac{1}{2} \right) \theta - \cos \left( k+\frac{1}{2} \right) \theta$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \sin k\theta$を求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第3問次の定理を証明せよ．
「三角形の3本の中線は1点で交わり，各中線はその交点でそれぞれ$2:1$に内分される．」
「三角形の3本の中線は1点で交わり，各中線はその交点でそれぞれ$2:1$に内分される．」
国立 鳥取大学 2010年 第4問関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第1問平面上に一辺の長さが1の正五角形があり，その頂点を順にA，B，C，D，Eとする．次の問いに答えよ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．
国立 佐賀大学 2010年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)$n$と$r$を自然数とする．
\mon[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ．
(2)「あるアイスクリーム店で，6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという，格安3点セールを実施している．異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．\\
(答案)\\
まず$4+3+2+1=10$である．\\
次に$3+2+1=6$となる．\\
さらに$2+1=3$である．\\
最後に1がある．\\
よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである．
(1)$n$と$r$を自然数とする．
\mon[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ．
(2)「あるアイスクリーム店で，6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという，格安3点セールを実施している．異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．\\
(答案)\\
まず$4+3+2+1=10$である．\\
次に$3+2+1=6$となる．\\
さらに$2+1=3$である．\\
最後に1がある．\\
よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである．
国立 鳥取大学 2010年 第3問関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=f(x)$の接線で，点$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通るものが2本あることを示し，それらの方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．
国立 鳥取大学 2010年 第4問$a,\ k$は定数であり，$0<k<1$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$x=a+k \sin x$はただ一つの実数解をもつことを示せ．
(2)不等式$|\sin \theta| \leqq |\,\theta\,|$がすべての実数$\theta$に対して成立することを示せ．
(3)不等式$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$がすべての実数$\alpha,\ \beta$に対して成立することを示せ．
(4)数列$\{x_n\}$を，$x_0=0,\ x_n=a+k \sin x_{n-1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$によって定める．数列$\{x_n\}$は(1)の方程式$x=a+k \sin x$の解に収束することを示せ．
(1)方程式$x=a+k \sin x$はただ一つの実数解をもつことを示せ．
(2)不等式$|\sin \theta| \leqq |\,\theta\,|$がすべての実数$\theta$に対して成立することを示せ．
(3)不等式$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$がすべての実数$\alpha,\ \beta$に対して成立することを示せ．
(4)数列$\{x_n\}$を，$x_0=0,\ x_n=a+k \sin x_{n-1} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$によって定める．数列$\{x_n\}$は(1)の方程式$x=a+k \sin x$の解に収束することを示せ．