方程式$x^3-1=0$の解のうち，1と異なるものの1つを$\omega$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\omega^2+\omega+1=0$を示せ．
(2)$a,\ b$が実数のとき，$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1+2\omega}$を$c+d\omega \ (c,\ d \text{は実数})$の形で表せ．
(4)$z=m+n\omega \ (m,\ n \text{は自然数})$に対し，$\displaystyle \frac{1}{z}$が$p+q\omega \ (p,\ q \text{は整数})$の形で表されるとき，$z$を求めよ．

$\triangle$ABCにおいて，次の等式が成立することを示せ．

(1)$\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C=4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$
(2)$\displaystyle \cos A+\cos B+ \cos C=1+ 4\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
(3)$\displaystyle \tan A+ \tan B+ \tan C= \tan A \tan B \tan C$

$a$を正の実数とし，$f(x)=x^3-3a^2x$とおく．曲線$C:y=f(x)$の原点Oにおける接線を$\ell_1$，原点以外の任意の点P$(p,\ f(p))$における接線を$\ell_2$とし，2つの直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点をQとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)2直線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)点Qの座標を求めよ．
(3)$\triangle$OPQは曲線$C$によって2つの部分に分けられる．このうち，曲線$C$と線分OPで囲まれた図形の面積を$S$，曲線$C$と2直線$\ell_1,\ \ell_2$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき，比$S:T$は一定であることを示せ．

方程式$x^3-1=0$の解のうち，1と異なるものの1つを$\omega$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\omega^2+\omega+1=0$を示せ．
(2)$a,\ b$が実数のとき，$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1+2\omega}$を$c+d\omega \ (c,\ d \text{は実数})$の形で表せ．
(4)$z=m+n\omega \ (m,\ n \text{は自然数})$に対し，$\displaystyle \frac{1}{z}$が$p+q\omega \ (p,\ q \text{は整数})$の形で表されるとき，$z$を求めよ．

座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標を
\[ x=e^t \cos t, y=e^t \sin t \]
とするとき，次の問に答えよ．

(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$およびその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$が$x$軸の正の向きとのなす角$\alpha$を求めよ．
(3)原点をOとするとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角$\theta$は一定であることを示し，$\theta$を求めよ．

$b$と$d$で実数の定数を表す．次の条件$(*)$を考える．
\[ (*) \quad \text{すべての正の実数}x \text{に対して} \frac{x+b}{x^3+1}< \frac{x+2b+d}{x^3+2} \text{である．} \]
以下の問に答えよ．

(1)$b+d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)$d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)$d$を任意の正の実数とする．$(*)$が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．

以下の問いに答えよ．

(1)次の文章の[ア]，[イ]，[ウ]を適当な整数で埋めよ．

$2^{10}=[ア]$より$10^{[イ]}<2^{10}<10^{[イ]+1}$であるから，$\displaystyle \frac{[ウ]}{10}<\log_{10}2<\frac{[ウ]+1}{10}$が成り立つ．

(2)$2^{13}$を計算し$2^{13}<10^4$であることを確かめよ．さらに$\log_{10}2<0.308$を示せ．
(3)$2^4 \times 3^8$を計算し$2^4 \times 3^8>10^5$であることを確かめよ．これと(2)を使って$\log_{10}3>0.471$を示せ．
(4)$3^9$を計算し$3^9<2 \times 10^4$であることを確かめよ．さらに，$\log_{10}3<0.479$を示せ．
(5)$3^{100}$は何桁の数であるか．

$b$と$d$で実数の定数を表す．次の条件$(*)$を考える．
\[ (*) \quad \text{すべての正の実数}x \text{に対して} \frac{x+b}{x^3+1}< \frac{x+2b+d}{x^3+2} \text{である．} \]
以下の問に答えよ．

(1)$b+d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(2)$d>0$は，$(*)$が成立するための必要条件であることを示せ．
(3)$d$を任意の正の実数とする．$(*)$が成立するための必要十分条件として，$b$が満たすべき範囲を$d$を用いて表せ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & c
\end{array} \biggr)$で表される座標平面上の点の移動を考える．原点を通る直線$\ell$上のすべての点が$\ell$上の点に移されるとき，この移動によって$\ell$はそれ自身に移されるということにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)原点を通る直線で，この移動によってそれ自身に移されるものがちょうど2つ存在するための必要十分条件を，$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$a,\ b,\ c$が(1)の条件をみたすとき，(1)の2つの直線は，直線$y=x$に関して対称であることを証明せよ．

$k$を実数とする．$f(x)=(x-k)^2+k^2-k-1$について以下の問いに答えよ．

(1)$k$の値によらず$f(3)>0$となることを示せ．
(2)2次方程式$f(x)=0$が実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(n)<0$をみたす正の整数$n$がただ一つ存在するような$k$の値の範囲を求めよ．