実数を成分にもつ2次の正方行列について，次の問いに答えよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr), O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．

(1)$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \biggr), B=\biggl( \begin{array}{cc}
c & -d \\
d & c
\end{array} \biggr)$が$AB=O$を満たすとき，$A=O$または$B=O$が成り立つことを示せ．
(2)$X=\biggl( \begin{array}{cc}
p & -q \\
q & p
\end{array} \biggr)$のとき，$X^2=-E$を満たす$p,\ q$をすべて求めよ．
(3)$Y=\biggl( \begin{array}{cc}
r & -s \\
s & r
\end{array} \biggr)$のとき，$Y^3=E$を満たす$r,\ s$をすべて求めよ．

正三角形OABにおいて，辺AB，AOを$1:3$に内分する点をそれぞれP，Qとし，辺ABの中点をRとする．直線PQ上の点Sを$\text{OB} \perp \text{OS}$となるように定める．また，直線BQ上の点Tを$\text{OT} \perp \text{BQ}$となるように定める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)3点R，S，Tが同一直線上にあることを示せ．

正三角形OABにおいて，辺AB，AOを$1:3$に内分する点をそれぞれP，Qとし，辺ABの中点をRとする．直線PQ上の点Sを$\text{OB} \perp \text{OS}$となるように定める．また，直線BQ上の点Tを$\text{OT} \perp \text{BQ}$となるように定める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)3点R，S，Tが同一直線上にあることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．

袋の中に白球が$m$個，黒球が$n$個入っている．ただし，$m,\ n$はともに正の整数とする．この袋から球を1個取り出し，その色を確かめてから袋に戻す．この試行をもう一度くり返す．以下の問いに答えよ．

(1)白球が2回取り出される確率を$m$と$n$の式で表せ．
(2)異なる色の球が取り出される確率を$P$とする．$P$を$m$と$n$の式で表せ．
(3)(2)の$P$について，$\displaystyle P \leqq \frac{1}{2}$であることを示せ．
(4)(2)の$P$に対して$\displaystyle P=\frac{24}{49}$となるとき，$\displaystyle \frac{n}{m}$の値を求めよ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr),\ P=\biggl( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr)$に対して以下の問いに答えよ．

(1)$U=P^{-1}AP$とする．$U$を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$U^n$を推測し，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$A^n$を求めよ．

$a>0$とし，
\[ f(x)=a^2(x+1)e^{-ax} \]
とおく．

(1)関数$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$c$とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=c$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$0<a<1$における$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．ただし，$e>2$であることを証明なしに用いてよい．

$\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ (x>0)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．

$\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ (x>0)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．

$\displaystyle f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}} \ (x>0)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\log f(x)$を微分することによって，$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$0<x_1<x_2$をみたす実数$x_1,\ x_2$に対して，$f(x_1)>f(x_2)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{101}{100} \right)^{101}$と$\displaystyle \left( \frac{100}{99} \right)^{99}$の大小を比較せよ．