$n$を自然数とし，1から$n$までの自然数の積を$n!$で表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)単調に増加する連続関数$f(x)$に対して，不等式$\displaystyle \int_{k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \int_1^n \log x\, dx \leqq \log n!$を示し，不等式$n^ne^{1-n} \leqq n!$を導け．
(3)$x \geqq 0$に対して，不等式$x^ne^{1-x} \leqq n!$を示せ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の点$\mathrm{P}_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．行列$\left( \begin{array}{cc}
-1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$で表される移動により，点$\mathrm{P}_n$が点$\mathrm{P}_{n+1}$に移るとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}_{n+1}$の座標を，$x_n,\ y_n$を用いて表せ．
(2)$(x_1,\ y_1)=(2,\ 1)$とする．すべての$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，
\[ (x_n,\ y_n) = \left(2\sin \frac{n\pi}{2},\ \sin \frac{n\pi}{2}+\cos \frac{n\pi}{2} \right) \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

直線$\ell:mx+ny=1$が，楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \ (a>b>0)$に接しながら動くとする．

(1)点$(m,\ n)$の軌跡は楕円になることを示せ．
(2)$C$の焦点$F_1(-\sqrt{a^2-b^2},\ 0)$と$\ell$との距離を$d_1$とし，もう1つの焦点$F_2(\sqrt{a^2-b^2},\ 0)$と$\ell$との距離を$d_2$とする．このとき$d_1d_2=b^2$を示せ．

はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．

(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$n$が奇数ならば$a_n=b_n>c_n$が成り立ち，$n$が偶数ならば$a_n>b_n = c_n$が成り立つことを示せ．
(4)$b_n$を求めよ．

$f(x)=2x^3+3x^2-12x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とするとき，直線$y=ax+a+13$が$a$に関係しない1点を通ることを示せ．また，その点が(1)のグラフ上にあることを示せ．
(3)(1)のグラフと(2)の直線との共有点の個数を求めよ．

数列$\{a_n\}$は等比数列で，その公比は0以上の実数であるとする．自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．

2つずつ平行な3組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)4点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．

（図は省略）

数列$\{a_n\}$は等比数列で，その公比は$0$以上の実数であるとする．自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=1}^n a_k, T_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k, U_n=\sum_{k=1}^n {a_k}^2 \]
とするとき，$n$が奇数ならば，$S_n \cdot T_n=U_n$が成り立つことを示せ．

$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$4$点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．

（図は省略）

次の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(1)$0<x<1$なる実数$x$に対して，不等式
\[ \log \frac{1+x}{1-x}<2x+\frac{2}{3} \cdot \frac{x^3}{1-x^2} \]
が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle \log 2< \frac{25}{36}$が成り立つことを示せ．