次の問いに答えよ．

(1)四面体OABCにおいて，OA$\perp$BCかつOB$\perp$CAならば，OC$\perp$ABとなることを証明せよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int x^3 e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{4n^2-k^2}$を求めよ．

座標平面に，一直線上にない3点O$(0,\ 0)$，P$(a,\ b)$，Q$(c,\ d)$がある．点P，Qは，
行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & m-1 \\
m & 1
\end{array} \right)$によってそれぞれ点P$^\prime$，Q$^\prime$に移され，3点O，P$^\prime$，Q$^\prime$も一直線上にないとする．

(1)$\triangle$OPQの面積$S$が$\displaystyle S=\frac{1}{2}|ad-bc|$で与えられることを証明せよ．
(2)$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積が$\triangle$OPQの面積より大きくなるような定数$m$の範囲を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線
\[ C:\quad y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}x^2+2} \]
と，その上の相異なる$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を考える．

(1)$\mathrm{P}_i \ (i=1,\ 2)$を通る$x$軸に平行な直線と，直線$y=x$との交点を，それぞれ$\mathrm{H}_i \ (i=1,\ 2)$とする．このとき$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{H}_1$と$\triangle \mathrm{OP}_2 \mathrm{H}_2$の面積は等しいこと示せ．
(2)$x_1<x_2$とする．このとき$C$の$x_1\leqq x\leqq x_2$の範囲にある部分と，線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{O}$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{O}$で囲まれる図形の面積を，$y_1$，$y_2$を用いて表せ．

直角三角形$\mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{C}$が直角で，各辺の長さは整数であるとする．辺$\mathrm{BC}$の長さが3以上の素数$p$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CA}$の長さを$p$を用いて表せ．
(2)$\tan \angle \mathrm{A}$と$\tan \angle \mathrm{B}$は，いずれも整数にならないことを示せ．

放物線$y=x^2$と直線$y=ax+b$によって囲まれる領域を
\[ D=\{(x,\ y) \; | \; x^2 \leqq y \leqq ax+b \} \]
とし，$D$の面積が$\displaystyle \frac{9}{2}$であるとする．座標平面上で，$x$座標，$y$座標が共に整数である点を格子点と呼ぶ．

(1)$a=0$のとき，$D$に含まれる格子点の個数を求めよ．
(2)$a,\ b$が共に整数であるとき，$D$に含まれる格子点の個数は，$a,\ b$の値によらず一定であることを示せ．

$xy$平面上で$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．

(1)$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x$のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ．
(2)$a,\ b$は実数で$a \neq 0$とする．$y=ax^2+bx$のグラフ上に，点$(0,\ 0)$以外に格子点が2つ存在すれば，無限個存在することを示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は零行列ではなく，$A^2$が零行列となるとする．次の問に答えよ．

(1)$a+d=ad-bc=0$を示せ．
(2)行列$A$が表す一次変換によって，座標平面上の原点と任意の点P，Qは同一直線上に移ることを示せ．

平面上に4点O，A，B，Cがあり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$は次の条件を満たしている．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| = \sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．

実数$a,\ b$は等式
\[ x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1) \]
を満たすものとする．次の問に答えよ．

(1)$a+b,\ ab$を求めよ．
(2)複素数$\alpha$が2次方程式$x^2+ax+1=0$の解ならば，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}$もこの方程式の解であることを示せ．
(3)2次方程式$x^2+bx+1=0$の解は，(2)の$\alpha$を用いて$\displaystyle \alpha^2,\ \frac{1}{\alpha^2}$と表されることを示せ．

以下の問いに答えよ．答えだけでなく，必ず証明も記せ．

(1)和$1+2+\cdots +n$を$n$の多項式で表せ．
(2)和$1^2+2^2+\cdots +n^2$を$n$の多項式で表せ．
(3)和$1^3+2^3+\cdots +n^3$を$n$の多項式で表せ．