$a$を正の実数とする．放物線$P:y = x^2$上の点A$(a,\ a^2)$における接線を$\ell_1$とし，点Aを通り$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．また，$\ell_2$と放物線$P$との交点のうちAではない方をB$(b,\ b^2)$とする．さらに，点Bを通り$\ell_1$に平行な直線を$\ell_3$とし，$\ell_3$と放物線$P$との交点のうちBではない方をC$(c,\ c^2)$とする．

(1)$b+c = 2a$であることを示せ．
(2)放物線$P$と$\ell_3$で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表し，$S$が最小になるときの$S$と$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$x+x^2 \log x > 0$が成り立つことを示せ．
(2)関数$y = -x^2 \log x$の増減，グラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

次の条件で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1, a_2=3, a_{n+2}=a_n+a_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)すべての自然数$n$に対して
\[ X \left( \begin{array}{cc}
a_n & a_{n+1} \\
a_{n+1} & a_{n+2}
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a_{n+1} & a_{n+2} \\
a_{n+2} & a_{n+3}
\end{array} \right) \]
が成り立つように，行列$X$を定めよ．
(2)自然数$n$に対して$a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$の値を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

四面体ABCDにおいて，辺AB の中点をM，辺CDの中点をNとする．以下の問いに答えよ．

(1)等式
\[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} = \overrightarrow{\mathrm{PC}}+ \overrightarrow{\mathrm{PD}} \]
を満たす点Pは存在するか．証明をつけて答えよ．
(2)点Qが等式
\[ |\overrightarrow{\mathrm{QA}}+\overrightarrow{\mathrm{QB}}| = |\overrightarrow{\mathrm{QC}}+\overrightarrow{\mathrm{QD}}| \]
を満たしながら動くとき，点Qが描く図形を求めよ．
(3)点Rが等式
\[ |\overrightarrow{\mathrm{RA}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{RB}}|^2 = |\overrightarrow{\mathrm{RC}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{RD}}|^2 \]
を満たしながら動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{MN}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MR}}$はRのとり方によらず一定であることを示せ．
(4)(2)の点Qが描く図形と(3)の点Rが描く図形が一致するための必要十分条件は$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|$であることを示せ．

$xy$平面において，原点を中心としP$(1,\ 0)$を頂点の1つとする正6角形を$X$とする．$A$を2次の正方行列とし，$X$の各頂点$(x,\ y)$に対して，行列$A$の表す移動
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right) =A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
で得られる点$(x^\prime,\ y^\prime)$は$X$の辺上の点(頂点を含む)であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pが行列$A$の表す移動でP自身に移るとき，$X$の各頂点は$X$のいずれかの頂点に移ることを示せ．また，そのときの行列$A$を求めよ．
(2)点Pが行列$A$の表す移動で$X$のある頂点に移るとき，$X$の各頂点は$X$のいずれかの頂点に移ることを示せ．また，そのときの行列$A$を求めよ．

数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$を次のように定める．
\begin{itemize}
$a_1=1$とする．
$\displaystyle a_n \geqq \frac{5}{4}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n-1$とする．
$\displaystyle a_n < \frac{5}{4}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n+2$とする．
\end{itemize}
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_6$を求めよ．
(2)$a_{4m-1}=5m \ (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3)$a_n > 2010$となる最小の$n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$が漸化式
\[ a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n,\ a_1=-1,\ a_2=3 \]
で定められているとする．$p_n=a_{n+1}-a_n,\ q_n=a_{n+1}+2a_n$とおく．

(1)$p_{n+1}=-2p_n,\ q_{n+1}=q_n$となることを示し，数列$\{p_n\}$の一般項と数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$は漸化式
\[ b_{n+2}=-b_{n+1}+2b_n+1,\ b_1=0,\ b_2=3 \]
で定められているとする．$b_{n+1}-b_n=a_{n+1}$となることを示し，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{x^2}{2}$を考える．$0<a<\sqrt{2}$を満たす定数$a$に対して，点$\displaystyle \left(a^3,\ \frac{3a^2}{2}+1 \right)$をPで表す．

(1)点Pと$C$上の点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$との距離が最小となる$t$を$a$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた$t$に対して，点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$をQとおく．点Qにおける$C$の接線と，直線PQは直交することを示せ．
(3)点Pと点Qとの距離が最大となるように$a$を定めよ．

平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-t^2,\quad y=1-t^2 \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線を$C$とおく．

(1)$0<t<1$の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻$t$を求めよ．
(2)(1)で求めた時刻$t$に対応する$C$上の点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$は，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y$が$4$で割ると$1$余る自然数ならば，積$xy$も$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．
(2)$0$以上の偶数$n$に対して，$3^n$を$4$で割ると$1$余ることを証明せよ．
(3)$1$以上の奇数$n$に対して，$3^n$を$4$で割った余りが$1$でないことを証明せよ．
(4)$m$を$0$以上の整数とする．$3^{2m}$の正の約数のうち$4$で割ると$1$余る数全体の和を$m$を用いて表せ．