数列$\{a_n\}$は，すべての正の整数$n$に対して$0 \leqq 3a_n \leqq \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$を満たしているとする．このとき，すべての$n$に対して$a_n=0$であることを示せ．

実数$p,\ q,\ r$に対して，3次多項式$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$と定める．実数$a,\ c,\ $および0でない実数$b$に対して，$a+bi$と$c$はいずれも方程式$f(x)=0$の解であるとする．ただし，$i$は虚数単位を表す．

(1)$y=f(x)$のグラフにおいて，点$(a,\ f(a))$における接線の傾きを$s(a)$とし，点$(c,\ f(c))$における接線の傾きを$s(c)$とする．$a \neq c $のとき，$s(a)$と$s(c)$の大小を比較せよ．
(2)さらに，$a,\ c$は整数であり，$b$は0でない整数であるとする．次を証明せよ．

(3)$p,\ q,\ r$はすべて整数である．
(4)$p$が2の倍数であり，$q$が4の倍数であるならば，$a,\ b,\ c$はすべて2の倍数である．

$a$を実数とする．傾きが$m$である2つの直線が，曲線$y=x^3-3ax^2$とそれぞれ点A，点Bで接している．

(1)線分ABの中点をCとすると，Cは曲線$y=x^3-3ax^2$上にあることを示せ．
(2)直線ABの方程式が$y=-x-1$であるとき，$a,\ m$の値を求めよ．

0以上の整数$a_1,\ a_2$があたえられたとき，数列$\{a_n\}$を
\[ a_{n+2} = a_{n+1} + 6a_n \]
により定める．

(1)$a_1=1,\ a_2=2$のとき，$a_{2010}$を10で割った余りを求めよ．
(2)$a_2=3a_1$のとき，$a_{n+4}-a_n$は10の倍数であることを示せ．

四面体ABCDにおいて$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$はそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点A，頂点Bおよび辺CDの中点Mの3点を通る平面は辺CDと直交することを示せ．

次の問に答えよ．

(1)$n$を正の整数，$a=2^n$とする．$3^a-1$は$2^{n+2}$で割り切れるが$2^{n+3}$では割り切れないことを示せ．
(2)$m$を正の偶数とする．$3^m -1$が$2^m$で割り切れるならば$m=2$または$m=4$であることを示せ．

点$\mathrm{O}$を中心とする正十角形において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を隣接する$2$つの頂点とする．線分$\mathrm{OB}$上に$\mathrm{OP}^2=\mathrm{OB}\cdot \mathrm{PB}$を満たす点$\mathrm{P}$をとるとき，$\mathrm{OP}=\mathrm{AB}$が成立することを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$k$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{1}{2(k+1)}< \int_0^1 \frac{1-x}{k+x}\, dx < \frac{1}{2k} \]
(2)$m>n$であるようなすべての自然数$m$と$n$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)} < \log \frac{m}{n} -\sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k} < \frac{m-n}{2mn} \]

すべての正の整数$n$に対して，$3^{3n-2}+5^{3n-1}$が7の倍数であることを証明せよ．

関数
\[ f(x) = 2\log(1+e^x)-x-\log 2 \]
を考える．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の第2次導関数を$f^{\,\prime\prime}(x)$とする．等式
\[ \log f^{\,\prime\prime}(x) = -f(x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\log 2} (x-\log 2)e^{-f(x)}\, dx$を求めよ．