$3$次の正方行列$\left( \begin{array}{ccc}
a & b & c \\
0 & d & e \\
0 & 0 & f
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$A$と同じ型の単位行列を$E$，零行列を$O$とする．

(1)$A^3$を求めよ．
(2)$A^3=O$であるための必要十分条件は，$a=d=f=0$であることを示せ．
(3)$(A+E)^3=E$ならば，$A=O$であることを示せ．

複数の参加者がグー，チョキ，パーを出して勝敗を決めるジャンケンについて，以下の問いに答えよ．ただし，各参加者は，グー，チョキ，パーをそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で出すものとする．

(1)$4$人で一度だけジャンケンをするとき，$1$人だけが勝つ確率，$2$人が勝つ確率，$3$人が勝つ確率，引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$n$人で一度だけジャンケンをするとき，$r$人が勝つ確率を$n$と$r$を用いて表わせ．ただし，$n \geqq 2,\ 1 \leqq r < n$とする．
(3)$\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} {}_n \text{C}_r=2^n-2$が成り立つことを示し，$n$人で一度だけジャンケンをするとき，引き分けになる確率を$n$を用いて表わせ．ただし，$n \geqq 2$とする．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}$とする．このとき数学的帰納法により，
\[ s_n=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n} \]
であることを示せ．
(2)$a_1=0,\ a_2=1$とし，自然数$n$に対して，$a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=n+1$を満たす数列$\{a_n\}$について以下の問いに答えよ．

\mon[(i)] $b_n=a_{n+1}-a_n$とするとき，数列$\{b_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
\mon[(ii)] $b_n$を(1)で与えた$s_n$を用いて表せ．
\mon[(iii)] 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

2つの関数$f(t)=t \log t$と$g(t)=t^3-9t^2+24t$が与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$は$t \geqq 1$の範囲で単調に増加することを示せ．
(2)$t \geqq 1$のとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=f(t) \\
y=g(t)
\end{array}
\right. \]
と媒介変数表示される関数$y=h(x)$の$x \geqq 0$の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．
(3)$xy$平面上で，曲線$y=h(x)$，2直線$x=f(2),\ x=f(4)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$x$軸とのなす角が$\displaystyle 2\theta \ \left(0<\theta<\frac{\pi}{4} \right)$で原点Oを通る直線$\ell$と，$x$軸上の定点A$(a,\ 0) \ (a>0)$と$y$軸上の定点B$(0,\ b) \ (b>0)$がある．円$C_1$，円$C_2$は$\ell$と接し，かつ$C_1$は$x$軸とAで接し，$C_2$は$y$軸とBで接するものとする．$C_1$，$C_2$の中心をそれぞれP$_1$，P$_2$とする．ただし，P$_1$，P$_2$は第1象限の点である．

(1)$\triangle$OP$_1$P$_2$の面積は$\displaystyle S=\frac{ab}{\sin 2\theta + \cos 2\theta+1}$であることを示せ．
(2)$\theta$を変数としたとき，$S$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を2以上の自然数とするとき，不等式$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx< \log 1+\log 2+\cdots +\log n$が成り立つことを示せ．
(2)$a$を正の実数とするとき，上の不等式を用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n!}=0$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\left( 2+\displaystyle\frac{n}{n+1} \right)^n}{n!}$を求めよ．

$x,\ y$は実数とする．命題「$3x^2+y^2+4xy \neq 0$ならば$x+y \neq 0$である」について，以下の問いに答えよ．

(1)命題の逆，裏，対偶をそれぞれ述べよ．
(2)命題を証明せよ．
(3)命題の裏の反例を$1$つあげよ．

数列$\{a_n\}$の一般項を
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-x} \sin x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin x=(-\cos x)^\prime$を用いた部分積分法により，
\[ a_n=A_n-\int_0^{n\pi} e^{-x} \cos x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となるときの$A_n$を求めよ．
(2)(1)で求めた$A_n$について，$\displaystyle a_n=\frac{A_n}{2}$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

$n$を自然数とし，
\[ S_n=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2 \]
とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)次の等式を数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
(2)(1)の結果を利用して，$S_{3n}+n$が$3$の倍数であることを証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>-1$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(2)$m$を自然数として，$p_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots,\ m-1)$は$\displaystyle p_1=1-\frac{1}{m}$と$\displaystyle p_k=\left( 1-\frac{k}{m} \right)p_{k-1}$ \ $(k=2,\ 3,\ \cdots,\ m-1)$で定められるものとする．$m=365$のとき，$\displaystyle \log p_n \leqq -\frac{n(n+1)}{730}$であることを示せ．