$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次の漸化式で与えられているとする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
a_1=4,\ b_1=3 \\
a_{n+1}=4a_n-3b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_{n+1}=3a_n+4b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ b_2,\ b_3,\ b_4$を求めなさい．
(2)$a_{n+4}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots), b_{n+4}-b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$はともに$5$の倍数であることを証明しなさい．
(3)$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$も$5$の倍数ではないことを証明しなさい．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，点$\mathrm{P}(p,\ q)$は$p^2 +q^2 > 1$をみたすものとする．$\mathrm{P}$から$C$へ接線をひき，その接点を$\mathrm{T}(s,\ t)$とする．$\mathrm{P}$を中心とし$\mathrm{T}$を通る円を$D$として，$D$は点$\mathrm{A}(a,\ 0)$を通るものとする．次の問いに答えよ．

(1)$(a-p)^2 = p^2-1$であることを示せ．
(2)$0<a<1$のとき$p>1$であることを示し，$a$を$p$を用いて表せ．

座標空間を運動する$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の時刻$t$における座標をそれぞれ$(t,\ 0,\ t)$，$(\sqrt{2}t,\ 1-2t,\ \sqrt{2}(1-t))$，$(-t,\ -\sqrt{2}t,\ t)$とする．原点を$\mathrm{O}$と記すとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を示せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S(t)$は$t(1-2t)$であることを示せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V(t)$の$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$における最大値を求めよ．

$s,\ t$を実数とし，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{P}(0,\ t)$，$\mathrm{Q}(s,\ t)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \sqrt{(1+s)^2+t^2} \geqq \frac{1+t^2+s}{\sqrt{1+t^2}}$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\mathrm{PA}+ \mathrm{PB} \leqq \mathrm{QA}+ \mathrm{QB}$が成り立つことを示せ．

$N,\ a,\ b$は正の整数とする．箱の中に赤玉が$a$個，白玉が$b$個入っている．箱から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が$2$回続けて出るか，または取り出す回数が$2N +2$になったら終了する．$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし，$\displaystyle p = \frac{a}{a+b},\ q = \frac{b}{a+b},\ r = pq$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$P(2j),\ P(2j +1) \ (j = 1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ．
(2)偶数回取り出して終わる確率$\displaystyle Q = \sum_{j=1}^{N+1} P(2j)$について，$\displaystyle Q > \frac{1-2r}{1-r}$となることを示せ．

$p,\ q$は正の実数で$p > q$とする．$x > 0$において，2つの関数
\[ f(x) = e^{px}+e^{-px},\quad g(x) = e^{qx}+e^{-qx} \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)$f(x) > 2$を示せ．
(2)$f(x) > g(x)$を示せ．
(3)$\displaystyle h(x) = \frac{f^{\, \prime}(x)-g^{\, \prime}(x)}{f(x)-g(x)}$とするとき，$h(x)$は$x > 0$において単調減少であることを示せ．

$N,\ a,\ b$は正の整数とする．箱の中に赤玉が$a$個，白玉が$b$個入っている．箱から無作為に1個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が2回続けて出るか，または取り出す回数が$2N +2$になったら終了する．$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし，$\displaystyle p=\frac{a}{a+b},\ q =\frac{b}{a+b},\ r = pq$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$P(2j),\ P(2j+1) \ (j =1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle (1-r)\sum_{j=1}^N jr^{j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^N$を示せ．
(3)取り出す回数の期待値$\displaystyle m = \sum_{n=2}^{2N+2} nP(n)$について，$\displaystyle m<\frac{2+r}{1-r}$となることを示せ．
(4)上の期待値$m$について，$m<3$を示せ．

数列$\{a_n\}$が$a_1 = 2,\ a_{n+1} −2a_n +a_na_{n+1}=0$を満たしている．以下の問に答えよ．

(1)すべての自然数$n$について$a_n>0$であることを示せ．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n}$とするとき，$b_n$と$b_{n+1}$の関係を式で表せ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$が，$\displaystyle a_1=\frac{2}{3},\ a_{n+1}=\frac{2-a_n}{3-2a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．
(3)$\displaystyle a_{n+1}-a_n<\frac{1}{5000}$を満たす最小の$n$を求めよ．

$\triangle$ABCの頂点を通らない直線$\ell$が，辺AC，辺BCのB方向への延長線，および辺ABと，それぞれ点P，Q，Rで交わり，
\[ \text{AP}:\text{PC}=\alpha:1,\quad \text{CQ}:\text{QB}=\beta:1 \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$として，次の各問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\alpha,\ \beta,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，等式$\displaystyle \frac{\text{AP}}{\text{PC}} \cdot \frac{\text{CQ}}{\text{QB}} \cdot \frac{\text{BR}}{\text{RA}}=1$を証明せよ．
(2)$\triangle$QRB，$\triangle$BCR，$\triangle$APRの面積比が$1:2:3$のとき，$\triangle$APRと$\triangle$CPRの面積比を求めよ．
(3)(2)のとき，直線CRと直線AQの交点をDとする．線分の長さの比$\text{AD}:\text{QD}$を求めよ．