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私立 広島修道大学 2011年 第3問$k$を定数とし，関数$f(x)=x^3+3x^2+3kx-4$は，$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとする．また，$x$についての多項式$f(x)$を$x$についての多項式$f^\prime(x)$で割った余りを$R(x)$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)余り$R(x)$を求めよ．
(2)$f(\alpha)=R(\alpha)$であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が$0$となるような$k$の値を求めよ．
(1)余り$R(x)$を求めよ．
(2)$f(\alpha)=R(\alpha)$であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が$0$となるような$k$の値を求めよ．
私立 北星学園大学 2011年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}:\angle \mathrm{B}:\angle \mathrm{C}=5:3:1$であり，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円の中心を$\mathrm{O}$とする．線分$\mathrm{AO}$の延長と円$\mathrm{O}$との交点を$\mathrm{D}$とする．円$\mathrm{O}$において弦$\mathrm{BC}$と平行に別の弦$\mathrm{EF}$を引く．ただし，$\mathrm{EF}$は線分$\mathrm{OD}$と交わり，弧$\mathrm{BD}$上に点$\mathrm{E}$がくるような位置にあるものとする．以下の問に答えよ．
(1)$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{CAF}$であることを証明せよ．
(1)$\angle \mathrm{BAD}$の大きさを求めよ．
(2)$\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{CAF}$であることを証明せよ．
私立 北星学園大学 2011年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$について，以下の問に答えよ．
(1)$\sin^2 B+\sin^2 C=\sin^2 A$のとき，$\angle \mathrm{A}$の大きさを求めよ．
(2)$\sin^2 B+\sin^2 C>\sin^2 A$のとき，$\angle \mathrm{A}$が鋭角であることを証明せよ．
(1)$\sin^2 B+\sin^2 C=\sin^2 A$のとき，$\angle \mathrm{A}$の大きさを求めよ．
(2)$\sin^2 B+\sin^2 C>\sin^2 A$のとき，$\angle \mathrm{A}$が鋭角であることを証明せよ．
私立 中部大学 2011年 第2問$0<\theta<\pi$における関数$y=\sin^2 \theta+\cos \theta$の最大値を考える．
(1)$t=\cos \theta$としたとき，$y$を$t$の式で表せ．また，$t$のとり得る値の範囲を示せ．
(2)$(1)$で示した範囲を$t$が変化するとき，$y$の最大値と，最大値を与える$\theta$の値を求めよ．
(1)$t=\cos \theta$としたとき，$y$を$t$の式で表せ．また，$t$のとり得る値の範囲を示せ．
(2)$(1)$で示した範囲を$t$が変化するとき，$y$の最大値と，最大値を与える$\theta$の値を求めよ．
私立 大同大学 2011年 第5問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}$をみたす定数$p,\ q,\ r,\ s$の値を求めよ．
(2)置換積分法により，$x=\tan \theta$とおいて$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1} \geqq \frac{x^3(x-1)^2}{k} (0 \leqq x \leqq 1)$をみたす最小の正の定数$k$の値を求めよ．
(4)上の$(1)$，$(2)$，$(3)$の結果を使って，$\displaystyle \pi<\frac{63}{20}$を示せ．
(1)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1}=x^3+px^2+qx+r+\frac{s}{x^2+1}$をみたす定数$p,\ q,\ r,\ s$の値を求めよ．
(2)置換積分法により，$x=\tan \theta$とおいて$\displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{x^2+1}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{x^3(x-1)^2}{x^2+1} \geqq \frac{x^3(x-1)^2}{k} (0 \leqq x \leqq 1)$をみたす最小の正の定数$k$の値を求めよ．
(4)上の$(1)$，$(2)$，$(3)$の結果を使って，$\displaystyle \pi<\frac{63}{20}$を示せ．
私立 津田塾大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)中心の$x$座標が$a$で，$2$点$(4,\ 0)$，$(0,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$，$y \geqq 0$のとき，$(x+y)^3 \leqq 4(x^3+y^3)$が成り立つことを示せ．
(1)中心の$x$座標が$a$で，$2$点$(4,\ 0)$，$(0,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$x \geqq 0$，$y \geqq 0$のとき，$(x+y)^3 \leqq 4(x^3+y^3)$が成り立つことを示せ．
私立 津田塾大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)=e^{-x}+\int_0^x e^{-(x-t)} \sin t \, dt$とする．このとき，$f^\prime(x)+f(x)=\sin x$が成り立つことを示せ．
(2)座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，原点$\mathrm{O}$を通り直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である直線の$1$つを$m$とする．直線$m$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる図形を$S$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が$S$上にあるならば，
\[ x^2+y^2+z^2+8xy+8yz+8zx=0 \]
が成り立つことを示せ．
(1)$\displaystyle f(x)=e^{-x}+\int_0^x e^{-(x-t)} \sin t \, dt$とする．このとき，$f^\prime(x)+f(x)=\sin x$が成り立つことを示せ．
(2)座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，原点$\mathrm{O}$を通り直線$\ell$とのなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$である直線の$1$つを$m$とする．直線$m$を直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる図形を$S$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$が$S$上にあるならば，
\[ x^2+y^2+z^2+8xy+8yz+8zx=0 \]
が成り立つことを示せ．
私立 津田塾大学 2011年 第2問自然数$n$に対し$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} \sin \left( \frac{k^2 \pi}{4} \right)$と定める．以下の問いに答えよ．
(1)$S_4$を求めよ．
(2)$n$が奇数ならば，$S_{n+1}=S_n$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
(1)$S_4$を求めよ．
(2)$n$が奇数ならば，$S_{n+1}=S_n$が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
私立 吉備国際大学 2011年 第3問$x$の$2$次関数
\[ y=x^2-2mx+2x+2m^2-5m-9 \cdots\cdots (\text{ア}) \]
について，次の問題に答えよ．
(1)$( \text{ア})$の最小値とそのときの$x$の値を$m$の式で求めよ．
(2)$( \text{ア})$のグラフで，頂点が$y$軸より左，$x$軸より下にあるための$m$の条件を示せ．
(3)$( \text{ア})$のグラフで，頂点が$y$軸より右，$x$軸より下にあるための$m$の条件を示せ．
(4)$(3)$のとき，かつ，$m$が奇数のときの$( \text{ア})$のグラフをかけ．
\[ y=x^2-2mx+2x+2m^2-5m-9 \cdots\cdots (\text{ア}) \]
について，次の問題に答えよ．
(1)$( \text{ア})$の最小値とそのときの$x$の値を$m$の式で求めよ．
(2)$( \text{ア})$のグラフで，頂点が$y$軸より左，$x$軸より下にあるための$m$の条件を示せ．
(3)$( \text{ア})$のグラフで，頂点が$y$軸より右，$x$軸より下にあるための$m$の条件を示せ．
(4)$(3)$のとき，かつ，$m$が奇数のときの$( \text{ア})$のグラフをかけ．
公立 首都大学東京 2011年 第4問数列$\{a_n\}$が次の式によって与えられているとする．
\[ a_n = \left( 1-\frac{1}{4} \right) \left( 1-\frac{1}{9} \right) \left( 1-\frac{1}{16} \right) \cdots \left( 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right) \]
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して，それぞれ$2(n+1)a_n$の値を求めなさい．
(2)$a_n$の一般項を推定し，推定した式がすべての自然数$n$に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(3)$\displaystyle a_n > \frac{1}{2}+\frac{100}{n^2}$をみたす最小の$n$を求めなさい．
\[ a_n = \left( 1-\frac{1}{4} \right) \left( 1-\frac{1}{9} \right) \left( 1-\frac{1}{16} \right) \cdots \left( 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right) \]
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して，それぞれ$2(n+1)a_n$の値を求めなさい．
(2)$a_n$の一般項を推定し，推定した式がすべての自然数$n$に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(3)$\displaystyle a_n > \frac{1}{2}+\frac{100}{n^2}$をみたす最小の$n$を求めなさい．