$\angle \text{A} > 90^\circ$である$\triangle$ABCの辺AB，AC上にそれぞれ頂点と異なる点P，Qをとる．このとき，$\text{PQ}<\text{BC}$であることを証明せよ．

$\angle \text{A} > 90^\circ$である$\triangle$ABCの辺AB，AC上にそれぞれ頂点と異なる点P，Qをとる．このとき，$\text{PQ}<\text{BC}$であることを証明せよ．

三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$k:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$の延長が線分$\mathrm{OC}$と交わる点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の実数とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OE}:\mathrm{EC}$を$k$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BCE}$の面積を$S$，三角形$\mathrm{ABD}$の面積を$T$とするとき，すべての$k$に対して，$\displaystyle \frac{S}{T}<2$であることを示せ．

関数$f(x)=x^3+(2a-1)x^2-2a+3$（$a$は実数）について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$つの定点を通ることを示せ．
(2)$f(x)$の極大値が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．また，そのときの極大値を与える$x$の値を$m$とすると，$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$のとき，点$(m,\ f(m))$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

以下の問に答えよ．

(1)$25^3$を計算して，その答えを$A \times 10^3+625$の形に表したとき，$A$の値を求めよ．ただし，$A$は$0$以上の整数とする．
(2)$2$以上の自然数$n$に対して，$25^n$の下$3$桁は$625$になることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$25^{25}$の下$4$桁の数値を求めよ．

コインを投げ，点$\mathrm{P}$を次の規則によって正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上を動かす．点$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{B}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{C}$に動かす．$\mathrm{B}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{C}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{A}$に動かす．$\mathrm{C}$にあるときは，表が出たら$\mathrm{A}$に動かし，裏が出たら$\mathrm{B}$に動かす．

はじめに点$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$にあるとし，コインを$n$回投げた後に$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$，$\mathrm{B}$にある確率を$b_n$，$\mathrm{C}$にある確率を$c_n$とする．

(1)$a_1=0$，$\displaystyle b_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle c_1=\frac{1}{2}$である．$n=2,\ 3,\ 4$に対して，$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $a_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(ii) $b_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．
(iii) $c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$を用いて表せ．

(3)$b_n=c_n$であることを示せ．
(4)$a_n$を求めよ．

$n$を自然数とする．

(1)等式
\[ \sum_{k=0}^n (-1)^k \comb{n}{k}=0 \]
を示せ．
(2)$k$が$0 \leqq k \leqq n$を満たす整数のとき，等式
\[ (n+1) \comb{n}{k}=(k+1) \comb{n+1}{k+1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)等式
\[ \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1} \comb{n}{k}=\frac{1}{n+1} \]
を示せ．

$m$は正の実数である．放物線$C_1:y=x^2+m^2$上の点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と放物線$C_2:y=x^2$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，$C_2$上の$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間の点$\mathrm{Q}$に対して，直線$\mathrm{AQ}$と$C_2$とで囲まれる領域の面積と，直線$\mathrm{QB}$と$C_2$とで囲まれる領域の面積の和を$S$とする．$\mathrm{Q}$が$C_2$上の$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の間を動くときの$S$の最小値は$\mathrm{P}$の取り方によらないことを示し，その値を$m$を用いて表せ．

$n$を自然数とする．

(1)不等式
\[ \left( 1+\frac{2}{n} \right)^n \geqq 3 \]
が成り立つことを証明せよ．
(2)不等式
\[ (n+1)^{n-1}(n+2)^n \geqq 3^n(n!)^2 \]
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．

$k$を定数とし，関数$f(x)=x^3+3x^2+3kx-4$は，$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta$で極小値をとるとする．また，$x$についての多項式$f(x)$を$x$についての多項式$f^\prime(x)$で割った余りを$R(x)$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)余り$R(x)$を求めよ．
(2)$f(\alpha)=R(\alpha)$であることを示せ．
(3)極大値と極小値の和が$0$となるような$k$の値を求めよ．