単位行列$E$と行列$\displaystyle A=\frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
-\sqrt{3} & -1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A^2=pE+qA$となる実数$p,\ q$の値を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，関係式
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{2n-1}+A^{2n}=x_nE+y_nA \]
をみたす実数$x_n,\ y_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$をそれぞれ$\displaystyle x=\lim_{n \to \infty}x_n,\ y=\lim_{n \to \infty}y_n$で定めるとき
\[ xE+yA=(E-A)^{-1} \]
であることを示せ．

$2$次曲線$C$が媒介変数$\theta$を用いて，
\[ x=3+5 \cos \theta,\quad y=2+3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq 2\pi) \]
と表されている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を$x,\ y$を用いて表せ．また，$C$を座標平面上に図示せよ．
(2)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(3+5 \cos \theta,\ 2+3 \sin \theta)$における$C$の接線$\ell$の方程式は，
\[ \frac{\cos \theta}{5}(x-3)+\frac{\sin \theta}{3}(y-2)=1 \]
となることを示せ．
(3)曲線$C$の焦点を$\mathrm{F}_1$，$\mathrm{F}_2$とする．$i=1,\ 2$に対し，$\mathrm{F}_i$を通り，接線$\ell$に垂直な直線$m_i$の方程式を求めよ．
(4)$i=1,\ 2$に対し，直線$m_i$と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}_i$とする．点$\mathrm{O}^\prime(3,\ 2)$とするとき，線分$\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}_i$の長さを求めよ．
(5)$\mathrm{P}$が曲線$C$を一周するとき，線分$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の長さの最大値，最小値，およびそのときの点$\mathrm{P}$をそれぞれ求めよ．

実数$k$は$\displaystyle \frac{\pi}{3} \leqq k \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にあるとする．
\[ \begin{array}{ll}
f(x)=\int_{-k}^k \sin (x-t) \cos t \, dt & (-k \leqq x \leqq k) \\
g(x)=\int_{-k}^k |\sin (x-t)|\cos t \, dt & (-k \leqq x \leqq k)
\end{array} \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$と$\displaystyle g \left( -\frac{\pi}{6} \right)$，$2$つの定積分の値をそれぞれ求めよ．
(2)差$f(x)-g(x)$は，区間$-k \leqq x \leqq k$で増加することを示せ．
(3)曲線$y=g(x)$の変曲点は何個あるか，調べよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3$つの数$2^{10}-1,\ 3^{10}-1,\ 4^{10}-1$の積を$y=(2^{10}-1)(3^{10}-1)(4^{10}-1)$として，全体集合$U$と部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
U=\{ x \;|\; x \text{は}y \text{の正の約数} \} \\
A=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}44 \text{の倍数} \} \\
B=\{ x \;|\; x \in U \text{かつ} x \text{は}45 \text{の倍数} \}
\end{array} \]
このとき，部分集合$A \cap \overline{B}$に属する要素は，全部で何個あるか．
以下，数列$a_n=4^n-1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
(2)次の命題$\mathrm{P}$を証明せよ．
\underline{命題$\mathrm{P}$} \quad $n$が$3$で割り切れることは，$a_n$が$9$で割り切れるための十分条件である．
(3)命題$\mathrm{P}$において，十分条件を必要十分条件に書きかえて，命題$\mathrm{Q}$をつくる．命題$\mathrm{Q}$の真偽を答えよ．
(4)$9$と$11$のうち，どちらか一方の数で割り切れるけれども，他方の数では割り切れないような$a_n$だけを取り出し，残りはすべて取り去る．こうして得られる$a_n$の部分列を小さい順に並べると，$23$番目の項は元の数列では第$k$項になるという．番号$k$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \]
を求めよ．
(2)$\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3)$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4)$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

実数全体で定義された関数$F(x)$が次の条件$①$と$②$の両方を満たすとき「$F(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つ」ということにする．

$①$ すべての実数$x$について$F(x)>0$である．
$②$ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす．


(1)$y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$，$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること，および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ．
(2)$y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする．$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$（$k$は正の定数）とおくとき，$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し，さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ．
(3)$c$を実数とする．(2)のとき，関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ．ただし$①$を示すために
\[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \]
を利用してもよい．

弧度法で表された$\theta$に対し，$M(\theta)=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\displaystyle\frac{1}{2}\sin \theta \\
2 \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とし，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}=1$を$C$とする．

(1)$M(\theta)$で表される$1$次変換により$C$上の点は$C$上の点に移ることを示せ．
(2)弧度法で表された$\alpha,\ \beta$は$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{4}$，$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{4}$を満たしているとし，$M(\alpha)$で表される$1$次変換により点$(\cos \beta,\ 2 \sin \beta)$が移される点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$を通り$y$軸に平行な直線と$C$で囲まれる部分のうち，原点$\mathrm{O}$を含まない方の面積$S$を求めよ．

三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$は辺$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$の長さが$a$，$\angle \mathrm{A}_0=60^\circ$，$\angle \mathrm{B}_0=90^\circ$の直角三角形であり，三角形${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime \mathrm{C}^\prime$は辺${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime$の長さが$a$，$\angle {\mathrm{A}_0}^\prime=45^\circ$，$\angle {\mathrm{B}_0}^\prime=90^\circ$の直角三角形である．右図に示すように三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$の$3$つの辺上にそれぞれ点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{B}_1$をとり，正方形$\mathrm{B}_0 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$を作る．次に，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}$の$3$つの辺上に点$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$をとり，正方形$\mathrm{B}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$を作る．これを繰り返し，正方形$\mathrm{B}_{j-1} \mathrm{D}_j \mathrm{A}_j \mathrm{B}_j$を作る．その正方形の面積を$S_j$とおく．ただし，$j=1,\ 2,\ \cdots$である．同様な操作で，三角形${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime \mathrm{C}^\prime$にも正方形${\mathrm{B}_{j-1}}^\prime {\mathrm{D}_j}^\prime {\mathrm{A}_j}^\prime {\mathrm{B}_j}^\prime$を作り，その正方形の面積を${S_j}^\prime$とおく．これらの図形について以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$S_1$を$a$を用いた式で示せ．
(2)$S_j$を$a$と$j$を用いた式で示せ．
(3)三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$内に正方形を描くことを無限に繰り返すとき，正方形の面積の総和$S_\mathrm{T}$が三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$の面積$S_0$に占める割合を求めよ．
(4)$\displaystyle c_j=\frac{S_{j+2}}{{S_j}^\prime}$で定義される一般項$c_j$を持つ無限級数は，収束するか発散するかを，根拠を式で示した上で答えよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さが，それぞれ$n-1$，$n$，$n+1$であるとする．ただし，$n$は$4$以上の整数である．頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の長さを$d$とする．

(1)$d$を$n$を用いて表せ．
(2)$n$が偶数であることは，$d$の$2$乗が整数であるための必要十分条件であることを証明せよ．

$a,\ b$を実数とするとき，次のことを示せ．

(1)$a,\ b$の少なくとも$1$つが無理数であるための必要十分条件は，$a+b$，$a-b$の少なくとも$1$つが無理数となることである．
(2)$a+b,\ ab$がともに有理数であることは，$a,\ b$がともに有理数であるための必要条件であるが，十分条件ではない．
(3)$a+b,\ ab,\ a^3-b^3$がすべて有理数であれば，$a,\ b$はともに有理数である．