四角形$\mathrm{ABCD}$に対して次の$①$と$②$が成り立つとする．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}} \qquad\qquad \cdots\cdots① \nonumber \\
& \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} \qquad\qquad \cdots\cdots② \nonumber
\end{align}
このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$は向かい合う辺の長さが等しくなる（すなわち平行四辺形になる）ことを示せ．

四角形$\mathrm{ABCD}$に対して次の$①$と$②$が成り立つとする．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = \overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DA}} \qquad\qquad \cdots\cdots① \nonumber \\
& \overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} \qquad\qquad \cdots\cdots② \nonumber
\end{align}
このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$は向かい合う辺の長さが等しくなる（すなわち平行四辺形になる）ことを示せ．

方程式$\tan x=x$について，次の各問に答えよ．ただし，必要であれば，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たす$x$について，不等式$\sin x <x < \tan x$が成り立つことを用いてもよい．

(1)各自然数$n$について，$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ．
(2)各自然数$n$について，(1)で存在が示された解を$x_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ．

関数$f(x)$は
\[ f(x)=\cos x+\int_0^{2\pi} f(y) \sin (x-y) \, dy \]
をみたすものとする．次の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$は
\[ f(x)=a \sin x+ b \cos x \]
の形に表されることを示せ．ただし，$a$と$b$は定数である．
(2)$f(x)$を求めよ．

$f(x)$は数直線上の連続関数で，次の条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$をみたすものとする．

$(ⅰ)$ $f(x)$は周期1の周期関数，すなわち，すべての$x$で$f(x+1)=f(x)$が成り立つ．
$(ⅱ)$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=0$

次の各問いに答えよ．

(1)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$をみたす恒等的に$0$でない連続関数$f(x)$の例を$1$つ挙げよ．
(2)$\displaystyle F(x)=\int_0^x f(y) \, dy$とおくと，$F(x)$も周期$1$の周期関数であることを示せ．
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\displaystyle \frac{d}{dx}F(nx)$を$f$を用いて表せ．
(4)数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^1 xf(nx) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ．

$x$の多項式$f(x)$は
\[ \int_{-1}^1 xf(x) \, dx=0,\quad f(1)=f(-1)=0 \]
を満たしているとする．

(1)このとき$\displaystyle \int_{-1}^1 x^2f^\prime(x) \, dx=0$を示せ．
(2)さらに多項式$f(x)$は3次以下で$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)e^x \, dx=1$を満たしているとする．このような$f(x)$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を定数とする．また$w$は$x,\ y,\ z$から$w=ax+by+cz+d$によって定まるものとする．以下の命題を考える．

命題1：$x \geqq 0$かつ$y \geqq 0$かつ$z \geqq 0 \ \naraba \ w \geqq 0$
命題2：「$x \geqq 0$かつ$z \geqq 0$」または「$y \geqq 0$かつ$z \geqq 0$」$\ \naraba \ w \geqq 0$
命題3：$z \geqq 0 \ \naraba \ w \geqq 0$

以下の問いに答えよ．

(1)$b=0$かつ$c=0$のとき，命題1が真であれば，$a \geqq 0$かつ$d \geqq 0$であることを示せ．
(2)命題1が真であれば，$a,\ b,\ c,\ d$はすべて0以上であることを示せ．
(3)命題2が真であれば，命題3も真であることを示せ．

平面内に三角形ABCがある．その平面上で，1点Oを定めておく．次の問いに答えよ．

(1)三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，3つの三角形PBC，PCA，PABの面積の比が$x:y:z$であるならば，点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2)三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)三角形ABCが鋭角三角形であるとき，その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ．

次の行列$A$を考える．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
-2 & 0
\end{array} \right) \]
次の各問いに答えよ．

(1)$2 \times 2$行列$X$に対して，$E-X$が逆行列を持つとき
\[ E+X+X^2+\cdots +X^n=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1} \]
が成立することを示せ．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列である．
(2)$A^2$と$A^3$を計算せよ．さらに$A^{100}$と$A^{101}$を計算せよ．
(3)$E+A+A^2+\cdots +A^{100}$を計算せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の$2$等辺三角形とする．$\mathrm{D}$を辺$\mathrm{BC}$上の点とし，$\mathrm{AD}$の延長線が$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円と交わる点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}+\mathrm{CP}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{BP}}+\frac{1}{\mathrm{CP}}=\frac{1}{\mathrm{DP}}$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを示せ．