「証明」について
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国立 山形大学 2011年 第3問座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ．
(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{D}$は円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦$\mathrm{PQ}$の長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形$\mathrm{APBQ}$の面積の最大値を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第1問座標平面において，点$(2,\ 0)$を中心とする半径2の円を$C$とする．点$(1,\ 0)$を通る直線$\ell_1$と円$C$との交点をA，Bとし，点$(3,\ 0)$を通る直線$\ell_2$と円$C$との交点をP，Qとする．さらに，$\ell_1$と$\ell_2$は垂直に交わるとする．ただし，$\ell_2$は座標軸とは一致しない．$\ell_1$の傾きを$k$で表す．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点Dは円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦ABの長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦PQの長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形APBQの面積の最大値を求めよ．
(1)$\ell_1$と$\ell_2$の交点Dは円$C$の内部にあることを示せ．
(2)弦ABの長さを$k$を用いて表せ．
(3)弦PQの長さを$k$を用いて表せ．
(4)四角形APBQの面積の最大値を求めよ．
国立 新潟大学 2011年 第5問実数$a,\ b,\ c$に対して，$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(-1),\ f(0),\ f(1)$が整数であるならば，すべての整数$n$に対して，$f(n)$は整数であることを示せ．
(2)$f(2010),\ f(2011),\ f(2012)$が整数であるならば，すべての整数$n$に対して，$f(n)$は整数であることを示せ．
(1)$f(-1),\ f(0),\ f(1)$が整数であるならば，すべての整数$n$に対して，$f(n)$は整数であることを示せ．
(2)$f(2010),\ f(2011),\ f(2012)$が整数であるならば，すべての整数$n$に対して，$f(n)$は整数であることを示せ．
国立 福井大学 2011年 第2問Oを原点とする座標平面上に2点A$(4,\ 2)$，B$(5,\ 0)$がある．AをP$_0$とし，P$_0$から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP$_1$，P$_1$から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP$_2$とする．同様にして，自然数$n$に対して，P$_{2n}$から直線OBに下ろした垂線と直線OBとの交点をP$_{2n+1}$，P$_{2n+1}$から直線OAに下ろした垂線と直線OAとの交点をP$_{2n+2}$とする．さらに，自然数$n$に対して，線分P$_{n-1}$P$_n$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$l_n$を$n$の式で表せ．
(2)$l_1+l_2+\cdots +l_n> \text{OA}+\text{OB}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$の中点をM$_n$とするとき，点M$_1$，M$_2$，M$_3$，$\cdots$，M$_n$，$\cdots$は一直線上にあることを示し，その直線の方程式を求めよ．
(1)$l_n$を$n$の式で表せ．
(2)$l_1+l_2+\cdots +l_n> \text{OA}+\text{OB}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(3)線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$の中点をM$_n$とするとき，点M$_1$，M$_2$，M$_3$，$\cdots$，M$_n$，$\cdots$は一直線上にあることを示し，その直線の方程式を求めよ．
国立 山形大学 2011年 第4問$xy$平面上に曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$がある．曲線$C$上の点P$\displaystyle \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$における接線を$\ell$とし，原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとするとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．
\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．
\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．
国立 新潟大学 2011年 第4問$a,\ b,\ c,\ d$を正の実数とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)不等式$\displaystyle \sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2}$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{abcd} \leqq \frac{a+b+c+d}{4}$を示せ．
(3)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{ab^3} \leqq \frac{a+3b}{4}$を示せ．
(1)不等式$\displaystyle \sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2}$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{abcd} \leqq \frac{a+b+c+d}{4}$を示せ．
(3)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{ab^3} \leqq \frac{a+3b}{4}$を示せ．
国立 和歌山大学 2011年 第3問数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{10n+3(-1)^n-5}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_n$は正の奇数であることを示せ．
(2)$a_n$を5で割った余りは1または4であることを示せ．
(3)正の奇数のうち，5で割った余りが1または4であるものすべてを，小さい方から順に並べてできる数列が$\{a_n\}$であることを示せ．
\[ a_n=\frac{10n+3(-1)^n-5}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_n$は正の奇数であることを示せ．
(2)$a_n$を5で割った余りは1または4であることを示せ．
(3)正の奇数のうち，5で割った余りが1または4であるものすべてを，小さい方から順に並べてできる数列が$\{a_n\}$であることを示せ．
国立 和歌山大学 2011年 第3問数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{10n+3(-1)^n-5}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_n$は正の奇数であることを示せ．
(2)$a_n$を5で割った余りは1または4であることを示せ．
(3)正の奇数のうち，5で割った余りが1または4であるものすべてを，小さい方から順に並べてできる数列が$\{a_n\}$であることを示せ．
\[ a_n=\frac{10n+3(-1)^n-5}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_n$は正の奇数であることを示せ．
(2)$a_n$を5で割った余りは1または4であることを示せ．
(3)正の奇数のうち，5で割った余りが1または4であるものすべてを，小さい方から順に並べてできる数列が$\{a_n\}$であることを示せ．
国立 和歌山大学 2011年 第4問$f(x)=2x^2-15x+16+11 \log x$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数であり，その底は$e=2.718 \cdots$である．
(1)$x \geqq 1$のとき，$f(x)>0$であることを示せ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および2直線$x=2,\ x=3$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \log \frac{27}{4}>1.8$であることを示せ．
(1)$x \geqq 1$のとき，$f(x)>0$であることを示せ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および2直線$x=2,\ x=3$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \log \frac{27}{4}>1.8$であることを示せ．
国立 和歌山大学 2011年 第5問$A=\left( \begin{array}{ccc}
9 & 4 & 8 \\
-8 & -3 & -8 \\
4 & 2 & 5
\end{array} \right)$とし，$E$を3次の単位行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A^2-10A=-9E$であることを示せ．
(2)$AB=\left( \begin{array}{ccc}
-3 & 4 & -18 \\
5 & -1 & 18 \\
-4 & 1 & -9
\end{array} \right)$を満たす行列$B$を求めよ．
9 & 4 & 8 \\
-8 & -3 & -8 \\
4 & 2 & 5
\end{array} \right)$とし，$E$を3次の単位行列とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$A^2-10A=-9E$であることを示せ．
(2)$AB=\left( \begin{array}{ccc}
-3 & 4 & -18 \\
5 & -1 & 18 \\
-4 & 1 & -9
\end{array} \right)$を満たす行列$B$を求めよ．