自然数$n$に対し
\begin{eqnarray}
& & S_n=\int_0^1 \frac{1-(-x)^n}{1+x} \, dx \nonumber \\
& & T_n=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k(k+1)} \nonumber
\end{eqnarray}
とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の不等式を示せ．
\[ \left| S_n-\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx \right| \leqq \frac{1}{n+1} \]
(2)$T_n-2S_n$を$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} T_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を初項$a_1=1$，公差が2の等差数列とし，数列$\{b_n\}$は初項$b_1=1$で$b_{n+1}-b_n=a_n$を満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(3)4以上の自然数$n$に対して$S_{n+1}<2S_n$が成立することを証明せよ．

$c$を実数とし，$a_1=c,\ a_2=c^2-2$および
\[ a_{n+2}=a_1a_{n+1}-a_n \quad (n \geqq 1) \]
で数列$\{a_n\}$を定義する．

(1)$n \geqq 1$のとき$a_{n+4}=a_2a_{n+2}-a_n$となることを示せ．
(2)$c=\sqrt{2}$のとき$a_{100}$を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とし，関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=3x-2a \sin x \cos x,\ g(x)=x^2+b \cos^2 x -b$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a=3$のとき，$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a=1$のとき，$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$x \geqq 0$において$f(x) \geqq 0$が成り立つような$a$の範囲を求めよ．
(4)$x \geqq 0$において$g(x) \geqq 0$が成り立つような$b$の範囲を求めよ．

実数$a$と行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a-2 & -2a \\
4a & -2a+2
\end{array} \biggr)$がある．$A$が表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える．

条件1： 原点O以外のある点Pが$A$によってP自身に移される．
条件2： 原点O以外のある点Qが$A$によって線分OQ上のQ以外の点に移される．

以下の問いに答えよ．

(i) 条件1がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(ii) 条件1，条件2の両方がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $a$は$(ⅱ)$で求めた値とする．自然数$n$に対して，点R$_n$を次のように定める．
\begin{itemize}
R$_1$の座標を$(4,\ 5)$とする．
$A$によってR$_{n-1}$が移される先をR$_n \ (n \geqq 2)$とする．
\end{itemize}
R$_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とするとき，$\displaystyle x_n=\frac{12}{2^n}-2,\ y_n=\frac{16}{2^n}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

2次の正方行列$A,\ B$について次の2つの条件を考える．($O$は零行列を表す．)

\mon[(a)] $A^3B^2-A^2B^3=O$
\mon[(b)] $A^2 \neq O$かつ$B^2 \neq O$


(1)(a)を満たす$A$と$B$がともに逆行列をもつとき，$A=B$であることを証明せよ．
(2)(a)，(b)を満たし，$A \neq B$である$A,\ B$の例を1組あげよ．

$xyz$空間の3点A$(5,\ 0,\ 0)$，B$(4,\ 1,\ 0)$，C$(5,\ 0,\ \sqrt{2})$が定める平面を$T$，$T$上にあって点Aを中心として半径$\sqrt{2}$をもつ円を$U$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)点Pは円$U$の周上にある．$\angle \text{PAB}=\theta \ (0 \leqq \theta <2\pi)$とするとき，Pの座標$(u,\ v,\ r)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)2点D$(10,\ 0,\ 0)$，Pを通る直線が$yz$平面と交わる点をQ$(0,\ Y,\ Z)$とする．$Y$と$Z$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)の$Y,\ Z$から$\theta$を消去して，Qの軌跡が楕円になることを示せ．また，その楕円の概形を$yz$平面上に図示せよ．

実数$p$に対して，行列$A,\ B,\ C$をそれぞれ
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & p \\
1 & 0
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1+p
\end{array} \biggr),\quad C=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & p \\
1+p & -1
\end{array} \biggr) \]
とおく．さらに，行列$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ A_1=A, A_{n+1}=A_nB-BA_n+C \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)$A_2,\ A_3$を求めよ．
(2)$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$N$は自然数で$N^{10}$が$16$桁であるとする．このとき，$N^8$は何桁になるか求めよ．
(2)$\alpha$が無理数であり，$a,\ b$が有理数であるとき，
\[ a+b \alpha=0 \quad \text{ならば} \quad a=b=0 \]
であることを証明せよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$を実数とする．

(i) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを示せ．
(ii) $x+y+z=1$のとき，$x^2+y^2+z^2$の最小値を求めよ．

平面上に点Oを中心とする半径1の円$S$と$S$に内接する正三角形ABCがある．以下の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)平面上の任意の点Pに対して，以下の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \text{AP}^2+\text{BP}^2+\text{CP}^2 \geqq 3 \]
また，等号が成り立つのはどのようなときか答えよ．
(4)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ (\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2+(\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}})^2=\frac{3}{2} \]
となることを示せ．
(5)円$S$の周上の任意の点Qに対して，
\[ \text{AQ}^4+\text{BQ}^4+\text{CQ}^4 \]
の値を求めよ．