「証明」について
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国立 香川大学 2011年 第3問$t$がすべての実数をとるとき，3点A$(t,\ t^2)$，B$(t,\ t-2)$，C$(t+\sqrt{3},\ t^2-t-1)$について，次の問に答えよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第3問$t$がすべての実数をとるとき，3点A$(t,\ t^2)$，B$(t,\ t-2)$，C$(t+\sqrt{3},\ t^2-t-1)$について，次の問に答えよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
国立 千葉大学 2011年 第10問三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$，内心を$\mathrm{I}$とする．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OI}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．
国立 千葉大学 2011年 第11問$\displaystyle f(x)=x\int_0^x \frac{dt}{1+t^2}, g(x)=\log (1+x^2) \ (x \text{は実数})$とおく．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(2)$x>0$のとき$f(x) > g(x)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log (k^2+n^2) \right) -2\log n \right\}$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(2)$x>0$のとき$f(x) > g(x)$であることを証明せよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log (k^2+n^2) \right) -2\log n \right\}$の値を求めよ．
国立 山口大学 2011年 第2問$a$を実数とし，
\[ I=\int_0^\pi (x+a\cos x+a^2 \sin x)^2 \, dx \]
とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$I$を$a$の式で表しなさい．
(2)$\displaystyle I>\frac{\pi}{2}a^4$であることを示しなさい．
\[ I=\int_0^\pi (x+a\cos x+a^2 \sin x)^2 \, dx \]
とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$I$を$a$の式で表しなさい．
(2)$\displaystyle I>\frac{\pi}{2}a^4$であることを示しなさい．
国立 富山大学 2011年 第2問$p$を実数とする．すべての実数$x$に対して
\[ u(x)=x^2+p\int_0^1 (1+tx)u(t) \, dt \]
をみたす関数$u(x)$が存在するかどうかを考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)もしこのような$u(x)$が存在すれば，$u(x)$は2次関数であることを示せ．
(2)このような$u(x)$が存在しないような$p$の値をすべて求めよ．
\[ u(x)=x^2+p\int_0^1 (1+tx)u(t) \, dt \]
をみたす関数$u(x)$が存在するかどうかを考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)もしこのような$u(x)$が存在すれば，$u(x)$は2次関数であることを示せ．
(2)このような$u(x)$が存在しないような$p$の値をすべて求めよ．
国立 鳥取大学 2011年 第4問$x$の関数$f(x)$と$F(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{x^2+1},\quad F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の増減，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$\displaystyle F \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$の値を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が$|x|<1,\ |y|<1$を満たすとき
\[ F \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) =F(x)+F(y) \]
が成り立つことを示せ．
(4)$F(2-\sqrt{3})$の値を求めよ．
\[ f(x)=\frac{1}{x^2+1},\quad F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の増減，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$\displaystyle F \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$の値を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が$|x|<1,\ |y|<1$を満たすとき
\[ F \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) =F(x)+F(y) \]
が成り立つことを示せ．
(4)$F(2-\sqrt{3})$の値を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第1問放物線$C_1:y=x^2$と定点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a^2<b$）を通る放物線$C_2:y=-3x^2+2px+q$の交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (\text{ただし，} \ \alpha < \beta)$とする．$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．(2)のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ．
(4)(2)のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．
(1)$S$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$p$とその最小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．(2)のとき，線分$\mathrm{PM}$の長さを$a,\ b$を用いて表せ．
(4)(2)のとき，点$\mathrm{P}$における放物線$C_2$の接線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$は平行であることを示せ．
国立 東京医科歯科大学 2011年 第1問ある硬貨を投げたとき，表と裏がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るとする．この硬貨を投げる操作を繰り返し行い，3回続けて表が出たときこの操作を終了する．自然数$n$に対し，
操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$
操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$
とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$P_3,\ P_4,\ P_5,\ P_6,\ P_7$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_6,\ Q_7$をそれぞれ求めよ．
(3)$n \geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 4$のとき，$\displaystyle Q_n < \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ．
操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$
操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$
とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$P_3,\ P_4,\ P_5,\ P_6,\ P_7$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_6,\ Q_7$をそれぞれ求めよ．
(3)$n \geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 4$のとき，$\displaystyle Q_n < \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ．
国立 山口大学 2011年 第4問図のように東西に6本，南北に10本の道がある．東西の道と南北の道の出会う地点を交差点とよび，隣どうしの交差点を結ぶ道を区間ということにする．$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点に進むとき，次の問いに答えなさい．ただし，どの交差点においても，東西および北のいずれかに進むことはできるが，南に進むことはできないとする．また，後戻りもできないとする．図の中の太線は道順の例を示したものである．
(1)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点へ行く道順の総数を求めなさい．
(2)$\mathrm{C}$地点を通って，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点へ行く道順の総数を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで16区間で行く道順の総数を求めなさい．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点へ行く道順の総数を求めなさい．
(2)$\mathrm{C}$地点を通って，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点へ行く道順の総数を求めなさい．
(3)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで16区間で行く道順の総数を求めなさい．
（図は省略）