$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および，その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)等式
\[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\
x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1
\end{array}
\right. \]
の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

$x$を未知数とする$3$次方程式
\[ x^3+(2t-2)x^2+(t^3-3t +2)x+1 = 0 \]
の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．$t > 0$ならば，$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \leqq 0$であることを示しなさい．

座標平面上で$\overrightarrow{a}$を単位ベクトルとし，任意のベクトル$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を次のように定める．
\[ \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{x} +2( \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} ) \overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{y} +2(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a} \]

(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} \]
(2)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ | \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} | = | \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} | \]

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，関数
\[ f(x) = (x-a)(e^x+e^a)-2(e^x-e^a) \]
について，$x>a$ならば，$f(x) > 0$であることを示しなさい．
(2)曲線$y = e^x$上で，$x$座標が$\displaystyle a,\ b,\ \log \frac{e^a +e^b}{2} (a < b)$である点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$における曲線$y = e^x$の接線の傾きは，直線$\mathrm{AB}$の傾きより大きいことを示しなさい．

正の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$と自然数$n \geqq 2$に対して，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明しなさい．
\[ \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{1+a_i} > \frac{a_1 +a_2 + \cdots +a_n}{1+a_1 +a_2+\cdots+a_n} \]

次の問いに答えなさい．

(1)$2$次関数
\[ f(x) = -x^2+a,\quad g(x) = (x-a)^2 \]
のグラフが異なる$2$点で交わるとき，$a$の範囲を求めなさい．
(2)$(1)$のとき，$2$つの曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフが囲む図形の面積$S$を$a$で表し，$\displaystyle S \leqq \frac{1}{3}$であることを示しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$4$人でじゃんけんを$2$回するとき，$2$回ともあいこになる確率を求めよ．
(2)次の関係式
\[ a_1 = -1,\ a_{n+1} = 2a_n(1-a_n) \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列$\{a_n\}$は，$1-2a_{n+1} = (1-2a_n)^2$を満たすことを示し，一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$について，$|\overrightarrow{a}| = 2|\overrightarrow{b}|$および$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$が成り立つとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$を求めよ．

$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．

$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．

$p$を実数とする．すべての実数$x$に対して
\[ u(x)=x^2+p\int_0^1 (1+tx)u(t) \, dt \]
をみたす関数$u(x)$が存在するとき，次の問いに答えよ．

(1)$u(x)$は2次関数であることを示せ．
(2)$p \neq 8+2\sqrt{13}$かつ$p \neq 8-2\sqrt{13}$であることを示せ．