数列$\{a_n\}$が
\[ a_1 =\frac{1}{2},\ a_{n+1} = \frac{(n^2 +n)a_n}{n^2 +n+a_n} \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1-a_n}{a_n}$で与えられるとき，$b_1,\ b_2,\ b_3$の値を求めよ．
(2)(1)における$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$の一般項，および$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)不等式
\[ \sum_{k=2}^n \frac{a_k}{3k+1} < \frac{1}{18} \log \frac{9n^2}{8} \]
が成り立つことを示せ．ただし，$n \geqq 2$とする．

座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$をとる．また，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$ \\
の中点を$\mathrm{L}$，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{B}$と$\mathrm{O}$の中点を$\mathrm{N}$とする． \\
さらに，$\triangle \mathrm{OAB}$の内接円を$C_1$，$\triangle \mathrm{LMN}$の外接円を$C_2$とする． \\
次の問いに答えよ．
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(1)円$C_1$の半径$r_1$と中心$\mathrm{P}_1$の座標を求めよ．
(2)円$C_2$の半径$r_2$と中心$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)円$C_1$と円$C_2$が接することを示せ．

座標平面上に$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(-q,\ p)$，$\mathrm{C}(-p,\ -q)$，$\mathrm{D}(q,\ -p)$を頂点とする正方形がある．ただし，$p>0,\ q>0,\ p^2+q^2=1$とする．また，直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$が直線$x+y=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{E}(r,\ s)$，$\mathrm{F}(t,\ u)$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$の方程式を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$r,\ s,\ t,\ u$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$k= p+ q$とおくとき，$pq$を$k$の式で表せ．また，$k \leqq \sqrt{2}$を示せ．
(4)$st- ru$を$k$の式で表せ．また，$st -ru$の最小値を求めよ．
（図は省略）

$n$を自然数とする．$xy$平面上で行列$\left( \begin{array}{cc}
1-n & 1 \\
-n(n+1) & n+2
\end{array} \right)$の表す1次変換(移動ともいう)を$f_n$とする．以下の問に答えよ．

(1)原点O$(0,\ 0)$を通る直線で，その直線上のすべての点が$f_n$により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し，この2直線の方程式を求めよ．
(2)(1)で得られた2直線と曲線$y = x^2$によって囲まれる図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{S_n-\frac{1}{6}}$を求めよ．

平面上に一辺の長さが1の正方形$D$および$D$と交わる直線がある．この直線を軸に$D$を回転して得られる回転体について以下の問に答えよ．

(1)$D$と同じ平面上の直線$\ell$は$D$のどの辺にも平行でないものとする．軸とする直線は$\ell$と平行なものの中で考えるとき，回転体の体積を最大にする直線は$D$と唯1点で交わることを示せ．
(2)$D$と交わる直線を軸としてできるすべての回転体の体積の中で最大となる値を求めよ．

$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

2つの関数を$f(x)=\sqrt{x+1} \ (x \geqq -1),\ g(x)=x^2-1 \ (x \geqq 0)$とし，$y=f(x)$と$y=g(x)$で表される曲線をそれぞれ$C_1,\ C_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の逆関数が$g(x)$であることを示せ．
(2)曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点Pの座標を求めよ．
(3)2つの曲線$C_1,\ C_2$，および2直線$x=0,\ x=1$で囲まれた図形の面積が，(2)で求めた交点Pを通る直線により二等分されるとき，この直線の傾きを求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は直角三角形であることを証明せよ．
(2)$k$が$\displaystyle k \neq \frac{1}{3}$を満たす実数で，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OG}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立つならば，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形であることを証明せよ．

自然数$n$に対し，関数
\[ F_n(x) = \int_x^{2x} e^{-t^n} \, dt \quad (x \geqq 0) \]
を考える．

(1)関数$F_n(x) \ (x \geqq 0)$はただ一つの点で最大値をとることを示し，$F_n(x)$が最大となるような$x$の値$a_n$を求めよ．
(2)(1)で求めた$a_n$に対し，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log a_n$を求めよ．

$\triangle$ABC の外心をOとし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} = \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{c}$とおく．$|\overrightarrow{a}| = 1$とする．点Oに関する点Pの位置ベクトルが$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$であるとする．

(1)直線APと直線BCは垂直に交わることを示せ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -\frac{3}{4}$とする．OP$\para$ABのとき，$\overrightarrow{c}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$となる実数$s,\ t$を求めよ．