次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \log_2 3 = \frac{m}{n}$を満たす自然数$m,\ n$は存在しないことを証明せよ．
(2)$p,\ q$を異なる自然数とするとき，$p \log_2 3$と$q \log_2 3$の小数部分は等しくないことを証明せよ．
(3)$\log_2 3$の値の小数第1位を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 0$のとき，不等式$\displaystyle 1-\cos \frac{\pi}{2} \leqq \frac{x^2}{8}$を示せ．
(2)$\displaystyle I_n = \int_0^2 x^ne^x \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$I_1$の値を求めよ．さらに，等式$I_n=2^n e^2-nI_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を示せ．
(3)$I_2,\ I_3,\ I_4$および$I_5$の値を求めよ．
(4)不等式$\displaystyle \int_0^4 \left( 1-\cos \frac{x}{2} \right) e^{\sqrt{x}} \, dx \leqq -2e^2+30$を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対して，$\displaystyle \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ．また
\[ \frac{1}{n+1} < \log (n+1) -\log n < \frac{1}{n} \]
を示せ．
(2)2以上の自然数$n$に対して
\[ \log (n+1) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < 1+\log n \]
を示せ．
(3)2以上の自然数$n$に対して
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{ee^{\frac{1}{2}}e^{\frac{1}{3}} \cdots e^{\frac{1}{k}}} > \frac{1}{e} \log (n+1) \]
を示せ．

平面上に直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，その斜辺$\mathrm{BC}$の長さを$2$とする．また，点$\mathrm{O}$は$4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{OM}$の中点となることを示せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=10$となることを示せ．
(3)$4|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|^2=-4$をみたす点を$\mathrm{P}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式を証明せよ．
\[ 1-x^2 \leqq e^{-x^2} \leqq 1 \]
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^2e^{-(\frac{x}{n})^2} \; dx$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に関する次の命題を証明せよ．

(i) $n$を$3$で割った余りが1ならば，$n^2$を$3$で割った余りは$1$である．
(ii) $n$が$3$の倍数であることは，$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である．

(2)$100$から$999$までの$3$桁の自然数について，次の問いに答えよ．

(i) $3$種類の数字が現れるものは何個あるか．
\mon[$(ⅱ)$)] $0$が現れないものは何個あるか．
(iii) $0$または$1$が現れるものは何個あるか．

(3)$1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする．$U$の要素のうち，$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V$，また，$U$の要素のうち，偶数であるもの全体からなる集合を$W$とする．いま$A$と$B$は$U$の部分集合で，次の$2$つの条件を満たすものとする．

\mon[(ア)] $A \cup \overline{B}=V$
\mon[(イ)] $\overline{A} \cap \overline{B} = W$

このとき，集合$A$の要素をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする．

細長い長方形の紙があり，短い方の辺の長さが$a$で長い方が$9a$であったとする．下図のように，この長方形の1つの角(かど)を反対側の長い方の辺に接するように折る．図に示した2つの三角形A，Bについて，次の問いに答えよ．

(1)三角形Aの面積の最大値を求めよ．
(2)三角形Bの面積の最小値を求めよ．

\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が次の条件を満たしているものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
\sqrt{\frac{1}{2}} \\
\sqrt{\frac{3}{2}}
\end{array} \right) \quad A \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
-\sqrt{\frac{3}{2}} \\
\sqrt{\frac{1}{2}}
\end{array} \right) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$および$A^2$を求めよ．
(2)Oを座標平面上の原点とし，Oと異なる点P$(x_1,\ y_1)$があり，他の2点Q$(x_2,\ y_2)$，R$(x_3,\ y_3)$に対して次の関係があるとする．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right) = A^3 \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c}
x_3 \\
y_3
\end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) \]
このとき，三角形OQRが正三角形であることを証明せよ．
(3)点P，Qは(2)と同じものとする．$\angle \text{OPQ}$の大きさを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，方程式
\[ 2 \sin 2\theta = \tan \theta + \frac{1}{\cos \theta} \]
を解け．
(2)正四面体ABCDにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}} = \overrightarrow{d}$とし，辺AB，AC，CD，BDの中点をそれぞれP，Q，R，Sとする．このとき4点P，Q，R，Sは同一平面上にあることを示し，さらに四角形PQRSは正方形になることを示せ．

曲線$y = x^3 +4x^2 -x$と曲線$y = x^2 +3$の3つの交点を$(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2),\ (x_3,\ y_3)$とおく．ただし$x_1 < x_2 < x_3$とする．次の問いに答えよ．

(1)2点$(x_1,\ y_1)$と$(x_3,\ y_3)$を結ぶ直線を$L$とする．このとき，直線$L$と曲線$y = x^2+3$で囲まれた部分$D$の面積を求めよ．
(2)曲線$y = x^2 +3$上の2点$(x_1,\ y_1),\ (x_3,\ y_3)$におけるこの曲線の接線をそれぞれ$L_1,\ L_2$とする．2直線$L_1$と$L_2$の交点を通り$y$軸に平行な直線を$L_0$とする．このとき，直線$L_0$は，(1)で求めた部分$D$の面積を二等分することを示せ．