$n$は$2$以上の整数であり，$\displaystyle\frac{1}{2} < a_j < 1\ (j=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$であるとき，不等式
\[ (1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_n) > 1- \left( a_1+ \frac{a_2}{2}+ \cdots +\frac{a_n}{2^{n-1}} \right) \]
が成立することを示せ．

$xyz$空間で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の球面$S$と$3$点$(4,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 4,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 4)$を通る平面$\alpha$が共有点を持つことを示し，点$(x,\ y,\ z)$がその共有点全体の集合を動くとき，積$xyz$が取り得る値の範囲を求めよ．

空間内に四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．このとき．$4$つの頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を同時に通る球面が存在することを示せ．

実数$x$の小数部分を，$0 \leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし，これを記号$\langle x \rangle$で表す．実数$a$に対して，無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように順次定める．
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき，} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]

(1)$a=\sqrt{2}$のとき，数列$\{a_n\}$を求めよ．
(2)任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ．
(3)$a$が有理数であるとする．$a$を整数$p$と自然数$q$を用いて$\displaystyle a=\frac{p}{q}$と表すとき，$q$以上のすべての自然数$n$に対して，$a_n=0$であることを示せ．

$a,\ b,\ c$を正の定数とする．空間内に3点A$(a,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ b,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ c)$がある．

(1)辺ABを底辺とするとき，$\triangle$ABCの高さを$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\triangle$ABC，$\triangle$OAB，$\triangle$OBC，$\triangle$OCAの面積をそれぞれ$S,\ S_1,\ S_2,\ S_3$とする．ただし，Oは原点である．このとき，不等式
\[ \sqrt{3}S \geqq S_1 +S_2+S_3 \]
が成り立つことを示せ．
(3)(2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ．

実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2+q$とおく．

(1)放物線$y=f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y=x$の$x>0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1),\ (p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1$および$f_2(x)=(x-p_2)^2+q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \quad (\text{ただし}\alpha < \beta)$に対して
\[ f_1(\alpha)<f_2(\alpha) \quad \text{かつ} f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R: 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y=f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y=f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

実数$a$は，$0<a<1$をみたしているとする．

(1)3次方程式$x^3+3ax^2+3(a^2-1)x=0$は3つの異なる実数解をもつことを証明しなさい．
(2)3次方程式$x^3+3ax^2+3(a^2-1)x-2=0$は3つの異なる実数解をもつことを証明しなさい．

$i=\sqrt{-1}$とする．以下の問に答えよ．

(1)実数$\alpha,\ \beta$について，等式
\[ (\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) = \cos(\alpha+\beta)+i\sin (\alpha+\beta) \]
が成り立つことを示せ．
(2)自然数$n$に対して，
\[ z=\sum_{k=1}^n \left( \cos \frac{2\pi k}{n}+ i \sin \frac{2\pi k}{n} \right) \]
とおくとき，等式
\[ z \left(\cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n} \right) = z \]
が成り立つことを示せ．
(3)2以上の自然数$n$について，等式
\[ \sum_{k=1}^n \cos \frac{2\pi k}{n} = \sum_{k=1}^n \sin \frac{2\pi k}{n} = 0 \]
が成り立つことを示せ．

$a,\ b,\ c$を実数とする．ベクトル$\overrightarrow{v_1}=(3,\ 0),\ \overrightarrow{v_2}=(1,\ 2\sqrt{2})$をとり，$\overrightarrow{v_3}=a\overrightarrow{v_1}+b\overrightarrow{v_2}$とおく．座標平面上のベクトル$\overrightarrow{p}$に対する条件
\[ (*) \qquad　(\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_1}+(\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_2}+(\overrightarrow{v_3}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_3} = c\overrightarrow{p} \]
を考える．ここで$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{p} \ (i=1,\ 2,\ 3)$はベクトル$\overrightarrow{v_i}$とベクトル$\overrightarrow{p}$の内積を表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを，$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(*)$をみたすならば，座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたすことを示せ．
(3)座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたす．このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．

$a$を正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}$の極大値および極小値を求めよ．
(2)$x \geqq 3$のとき，不等式$x^3 e^{-x} \leqq 27e^{-3}$が成り立つことを示せ．さらに，極限値
\[ \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} \]
を求めよ．
(3)$k$を定数とする．$y=x^2+2x+2$のグラフと$y=ke^x+a^2$のグラフが異なる$3$点で交わるための必要十分条件を，$a$と$k$を用いて表せ．