次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(i) $(a+b)(b+c)(c+a)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \frac{1}{a^7}+\frac{1}{b^7}+\frac{1}{c^7}=\frac{1}{a^7+b^7+c^7}$が成り立つことを示せ．

(2)$a,\ b,\ c$が正の数で，$a \neq 1,\ c \neq 1$のとき，次の等式が成り立つことを示せ．$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$
(3)不等式$9^x+3^{x+1}-4 \leqq 0$を解け．

$a$を，$a>0$かつ$a \neq 1$を満たす実数とし，
\[ F_a(x) = \int_0^x a^t \sin 2\pi t \, dt \quad (0 \leqq x \leqq 1) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)次式が成り立つことを示せ．
\[ F_a(x)=\frac{2\pi+a^x \{ (\log a) \sin 2\pi x - 2\pi \cos 2\pi x \}}{4\pi^2+(\log a)^2} \]
(2)$F_a(x)$の最大値を，$a$を用いて表せ．

$A=\biggl( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \biggr)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$について，
\[ A^n=\biggl( \begin{array}{cc}
\cos n \theta & -\sin n \theta \\
\sin n \theta & \cos n \theta
\end{array} \biggr) \]
となることを数学的帰納法で示せ．
(2)$\theta=20^\circ$のとき，$A^m=E$となる最小の自然数$m$を求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$である．
(3)$\theta=20^\circ$のとき，(2)で求められた$m$を用いて
\[ A+A^2+\cdots +A^m \]
を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \biggl( \frac{1}{2} \biggr)$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)^2}$を示せ．
(3)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_n=f \biggl( \frac{1}{2^n} \biggr)$は無理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，有理数$r,\ s$を用いて表される実数$r+s\sqrt{2}$は$s \neq 0$ならば無理数であることを，証明なく用いてもよい．

行列$A,\ B$を$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a-b & -b \\
b & a+b
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
-b & -b \\
b & b
\end{array} \biggr)$によって定める．ただし，$a,\ b$は定数で$b \neq 0$とする．行列$A$および$B$で表される1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．また，点P$(1,\ 2)$の$g$による像をQとし，点Pを通り，方向ベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$である直線を$\ell$とする．ただし，Oは原点を表す．

(1)点Qの$g$による像を求めよ．
(2)点Pの$f$による像Rが直線$\ell$上にあれば，$a=1$であることを示せ．
(3)$a=1$のとき，直線$\ell$上のすべての点は$f$により$\ell$上に移ることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．\\
$\displaystyle (\text{i}) \int \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}} \, dx \qquad (\text{ii}) \int \sin^9 x \cos x \, dx \qquad (\text{iii}) \int \sin^9 x \cos^3 x \, dx$
(2)次の極限値を求めよ．$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$
(3)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}=0$を示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．

(i) $A$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1}$を求めよ．
(ii) $A^2,\ A^3,\ A^4$を求めよ．
(iii) 正の整数$n$に対して$A^n$を推測し，その推測が正しいことを証明せよ．

(2)$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$であるとする．2次関数$f(x)=ax^2+bx+c \ (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a$と$b$を正の実数とするとき，不等式$a+b \geqq 2\sqrt{ab}$が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのは，どのようなときか．
(2)$p$と$q$を$1$より大きい実数とするとき，$\log_pq+4\log_qp$の最小値を求めよ．また，その最小値をとるのは，$p$と$q$がどのような関係をみたすときか．

空間内に4点O，A，B，Cがあり，次の条件を満たすものとする．
\[ \text{OA}=1,\ \text{OB}=1,\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{BOC}=\frac{\pi}{3},\ \angle \text{COA}=\frac{\pi}{4} \]
また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，Pは平面OAB上の点で$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されているとする．点Pが$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$を満たして動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)点Cから平面OABに下ろした垂線と平面OABの交点をQとする．したがって，$\text{CQ} \perp \text{OA},\ \text{CQ} \perp \text{OB}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}$と表したとき，$u,\ v$を求めよ．
(2)$(ⅰ)$ \ 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値をとるときの$x,\ y$の値，最小値をとるときの$x,\ y$の値をそれぞれ求めよ．\\
$(ⅱ)$ \ $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角$\theta$がとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$が最大値，最小値をとるときの点PをそれぞれP$_1$，P$_2$とおく．点P$_1$，P$_2$はいずれも直線OQ上にあることを示せ．ただし，Qは(1)で定めた点とする．

$a$を正の定数とする．実数の変数$x$の関数$f(x)=(x+a)e^{2x^2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)一階導関数$f^\prime(x)$はある多項式$g(x)$により$f^\prime(x)=g(x)e^{2x^2}$と表され，二階導関数$f^{\prime\prime}(x)$はある多項式$h(x)$により$f^{\prime\prime}(x)=h(x)e^{2x^2}$と表される．$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が(2)で求めた範囲にあるとする．関数$f(x)$が極大値をとる$x$の値を$\alpha$とし，極小値をとる$x$の値を$\beta$とする．このとき，$f^{\prime\prime}(\gamma)=0$となる$\gamma$が$\alpha$と$\beta$の間に存在することを示せ．