次の問に答えなさい．

(1)実数$x,\ y$に関する以下の命題で正しいものは証明し，誤っているものは反例をあげなさい．

(i) $x$と$y$が共に無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．
(ii) $x$と$y$のいずれかが無理数であることは$x+y$が無理数であることの必要条件である．
(iii) $x$が有理数で$y$が無理数であることは$x+y$が無理数であることの十分条件である．

(2)数列$\{a_n\}$を$a_1=1,\ a_2=1,\ a_n=a_{n-2}+a_{n-1} (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$で定義する．このとき，すべての正の整数$n$に対して次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
\[ a_n< \left( \frac{7}{4} \right)^n \]

実数$\theta$に対し，座標空間の2点A$(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$，B$(0,\ \sin 2\theta,\ \cos 2\theta)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)点A，Bと原点Oの3点は同一直線上にないことを示せ．
(2)三角形OABの面積$S$を$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が実数全体を動くとき，(2)で求めた$S$の最大値と最小値を求めよ．

$t$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)正の実数$x$に対して定義された関数$g(x) = e^x x^{-t}$について，$g(x)$の最小値を$t$を用いて表せ．
(2)すべての正の実数$x$に対して$e^x > x^t$が成り立つための必要十分条件は，$t<e$であることを示せ．

$|a^2 - 2b^2|=1$をみたす整数$a,\ b$によって，$\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$と表される2次の正方行列全体の集合を$U$とする．このとき，$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$に対して，$f(A)=a+\sqrt{2}b$とおく．次の問いに答えよ．

(1)二つの行列$A$と$B$が$U$に属するならば，積$AB$も$U$に属することを示し，さらに$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを示せ．
(2)$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$について，$f(A) \geqq 1$ならば，$-1 \leqq a-\sqrt{2}b \leqq 1$が成り立つことを示せ．
(3)$U$に属する行列$A$について，$1 \leqq f(A) < 1+\sqrt{2}$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．
(4)$U$に属する行列$A$について，$1+\sqrt{2} \leqq f(A) < (1+\sqrt{2})^2$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1 & 1
\end{array} \right)$であることを示せ．

内角がすべて$180^\circ$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$に対し，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とおく．$\mathrm{G}$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{GA}} +\overrightarrow{\mathrm{GB}} + \overrightarrow{\mathrm{GC}} + \overrightarrow{\mathrm{GD}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たす点とする．$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \quad (s,\ t \text{は正の実数})$と表すとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$と実数$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BD}$上にあるとき，$s$と$t$の満たす関係式を求めなさい．
(3)$s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき，線分$\mathrm{AC}$の中点は線分$\mathrm{BD}$上にあることを示しなさい．
(4)$s$と$t$が$(2)$で求めた関係式を満たすとき，$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{BCD}$の面積は等しくなることを示しなさい．

$n$を正の整数とし，$n^2+3$と$n+1$の最大公約数を$d_n$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)$d_1,\ d_2,\ d_3,\ d_4,\ d_5$を求めなさい．
(2)$(n^2+3)-(n-1)(n+1)=4$を用いて，$d_n$は$1,\ 2,\ 4$のいずれかであることを示しなさい．
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{610} d_n$を求めなさい．
(4)次の極限値を求めなさい．
\[ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \sum_{n=1}^k d_n \]

$x$の$2$次方程式$x^2-2x-1=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha < \beta)$とし，正の整数$n$に対して
\[ x_n = \frac{\beta^n - \alpha^n}{2\sqrt{2}} \]
とおく．次の各問に答えよ．

(1)$x_1,\ x_2$を求めよ．
(2)$x_{n+2}=2x_{n+1}+x_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)$x_{3n}$は$5$の倍数であることを証明せよ．

次の各問に答えよ．

(1)$0<x<\pi$において，方程式$\sin x -x \cos x-1=0$はただ1つの実数解$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$をもつことを証明せよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{x+\cos x}{\sin x}$の$0<x<\pi$における最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$a$を定数とする．方程式$x+\cos x-a \sin x=0$の$0<x<\pi$における異なる実数解の個数を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$を証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)$2\log_{10}u+\log_{10}v=1$とする．$u^3+uv^2$の最小値とそのときの$u,\ v$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面がある．この平面上に(2)で求めた$u,\ v$からなる点$\mathrm{A}(u,\ v)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$と$30^\circ$の角をなす直線の方程式をすべて求めよ．

$n,\ a_n,\ b_n$を自然数とし，$(2+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{3}b_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1},\ b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(2)$(2-\sqrt{3})^n=a_n-\sqrt{3}b_n$となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$(2+\sqrt{3})^n$以下の整数のうち最大のものを$pa_n+q$とする．$p$と$q$の値を求めよ．