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私立 岡山理科大学 2012年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{F}$，重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{FA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{FC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\mathrm{H}$を$\overrightarrow{\mathrm{FH}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FG}}$を満たす点とする．このとき，次の設問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{FH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$を示せ．
(3)$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が相異なる点で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にないとき，$\triangle \mathrm{AHG}$の面積は$\triangle \mathrm{MFG}$の面積の何倍であるかを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{FH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$を示せ．
(3)$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が相異なる点で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にないとき，$\triangle \mathrm{AHG}$の面積は$\triangle \mathrm{MFG}$の面積の何倍であるかを求めよ．
私立 愛知学院大学 2012年 第4問次の問いに答えよ．
(1)加法定理$\cos (x \pm y)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y$（複号同順）を用いて，
\[ \sin x \sin y=\frac{1}{2} (\cos (x-y)-\cos (x+y)) \]
を証明しなさい．
(2)$x+y=\pi$，$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{2}{3} \pi$のとき，$\sin x \sin y$の最大値，最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
(1)加法定理$\cos (x \pm y)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y$（複号同順）を用いて，
\[ \sin x \sin y=\frac{1}{2} (\cos (x-y)-\cos (x+y)) \]
を証明しなさい．
(2)$x+y=\pi$，$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{2}{3} \pi$のとき，$\sin x \sin y$の最大値，最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
私立 広島工業大学 2012年 第8問表の出る確率が$\displaystyle \frac{1}{3}$，裏の出る確率が$\displaystyle \frac{2}{3}$の王冠がある．この王冠をくり返し$n$回投げるとき，多くとも$1$回だけ裏の出る確率を$p(n)$とする．
(1)$p(n)$を求めよ．
(2)$p(n+1)<p(n)$を示せ．
(3)$p(n) \leqq 0.2$となるような$n$の最小値を求めよ．
(1)$p(n)$を求めよ．
(2)$p(n+1)<p(n)$を示せ．
(3)$p(n) \leqq 0.2$となるような$n$の最小値を求めよ．
私立 津田塾大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とする．二項係数$\comb{2n}{n}$について，不等式$\comb{2n}{n} \leqq 2^{2n-1}$が成り立つことを示せ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$1+\cos \theta+\cos 2\theta>\sin \theta+\sin 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(1)$n$を自然数とする．二項係数$\comb{2n}{n}$について，不等式$\comb{2n}{n} \leqq 2^{2n-1}$が成り立つことを示せ．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式$1+\cos \theta+\cos 2\theta>\sin \theta+\sin 2\theta$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
私立 津田塾大学 2012年 第2問空間内の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$を考える．点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{OA}$上を動き，点$\mathrm{Q}$が直線$\mathrm{BC}$上を動くとする．
(1)$\displaystyle \mathrm{PQ} \geqq \frac{\sqrt{2}}{2}$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$となる点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を求めよ．また，その$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して，直線$\mathrm{PQ}$は直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{BC}$に直交することを示せ．
(1)$\displaystyle \mathrm{PQ} \geqq \frac{\sqrt{2}}{2}$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$となる点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を求めよ．また，その$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して，直線$\mathrm{PQ}$は直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{BC}$に直交することを示せ．
私立 津田塾大学 2012年 第1問次の問に答えよ．
(1)数列
\[ 1,\ 101,\ 10101,\ 1010101,\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$とする．$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．また，$n$が$3$の倍数のとき，$a_n$は$7$の倍数であることを示せ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$2 \cos \theta+\sin \theta$の最大値および最小値を求めよ．
(1)数列
\[ 1,\ 101,\ 10101,\ 1010101,\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$とする．$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．また，$n$が$3$の倍数のとき，$a_n$は$7$の倍数であることを示せ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$2 \cos \theta+\sin \theta$の最大値および最小値を求めよ．
私立 津田塾大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$x,\ y$を整数とする．$x+y+xy$が偶数ならば$x,\ y$はともに偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$を正の実数とする．実数$x$に対し次の命題が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
\[ |x-a|<b \Longrightarrow |x-b|<a \]
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，$\sin 2x>\cos x$となる$x$の範囲を求めよ．
(1)$x,\ y$を整数とする．$x+y+xy$が偶数ならば$x,\ y$はともに偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$を正の実数とする．実数$x$に対し次の命題が成り立つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
\[ |x-a|<b \Longrightarrow |x-b|<a \]
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，$\sin 2x>\cos x$となる$x$の範囲を求めよ．
私立 津田塾大学 2012年 第2問$p$を奇数，$q$を偶数とし，方程式$x^2-px+q=0$の解を$\alpha,\ \beta$とおく．
(1)$a_n=\alpha^n+\beta^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a_n$はすべて奇数となることを示せ．
(1)$a_n=\alpha^n+\beta^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)$a_n$はすべて奇数となることを示せ．
私立 津田塾大学 2012年 第2問次の問に答えよ．
(1)奇数の平方は$8$で割ると$1$余ることを示せ．
(2)$11,\ 111,\ 1111,\ \cdots$のように数字$1$のみが並ぶ$2$桁以上の整数は平方数ではないことを示せ．
(1)奇数の平方は$8$で割ると$1$余ることを示せ．
(2)$11,\ 111,\ 1111,\ \cdots$のように数字$1$のみが並ぶ$2$桁以上の整数は平方数ではないことを示せ．
私立 関西学院大学 2012年 第3問$a$は$a>2$を満たす実数とする．$f(x)=x^3-a^2x$，$g(x)=-x^2+a^2$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$xy$平面において，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは$3$つの共有点をもつことを示し，$3$つの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの$3$つの共有点を，$x$座標の小さいほうから順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{B}$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=g(x)$のグラフとの共有点のうち点$\mathrm{B}$以外の点を$\mathrm{D}$とする．直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$y=g(x)$のグラフと直線$\ell$で囲まれ，$x \geqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．
(1)$xy$平面において，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは$3$つの共有点をもつことを示し，$3$つの共有点の座標をすべて求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの$3$つの共有点を，$x$座標の小さいほうから順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{B}$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=g(x)$のグラフとの共有点のうち点$\mathrm{B}$以外の点を$\mathrm{D}$とする．直線$\ell$の方程式と点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(3)$y=g(x)$のグラフと直線$\ell$で囲まれ，$x \geqq 0$の範囲にある部分の面積を求めよ．