座標平面上の点を，原点のまわりに角$\theta$だけ回転移動させる一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$A$とする．以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする．$2$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ．
(2)$A^n=E$となる条件を示せ．ただし，$n$は$2$以上の整数，$0 \leqq \theta \leqq \pi$，$E$は単位行列とする．
(3)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする．点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると，原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする．$n$個の点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ．また，$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)座標平面上の点を，原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする．座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする．点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき，$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$，$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ．

$a$を定数，$h$を正の定数とし，放物線$C:y=x^2$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{P}$，放物線$C$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{Q}$とする．また，直線$\mathrm{PQ}$に平行で放物線$C$に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と直線$x=a$との交点を$\mathrm{R}$，直線$\ell$と直線$x=a+h$との交点を$\mathrm{S}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と放物線$C$に囲まれた図形の面積を$A_1$，四角形$\mathrm{PRSQ}$の面積を$A_2$としたとき，$\displaystyle \frac{A_1}{A_2}$の値は$a$と$h$に無関係に一定となることを示せ．

自然数$n$に対して，$\displaystyle S_n=\int_0^\pi \sin^n x \, dx$とする．

(1)$S_1$および$S_2$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{S_{n+2}}{S_n}=\frac{n+1}{n+2}$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nS_nS_{n+1}$を求めよ．

$n \geqq 3$とする．$1$個のサイコロを$n$回振る．この$n$回の試行のうちで$6$の目がちょうど$2$回，しかも続けて出る確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$p_3,\ p_4$を求めよ．
(2)$p_n$を求め，
\[ p_{n+1}-\frac{5}{6}p_n=\left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1} \]
であることを示せ．
(3)$s_n=p_3+p_4+\cdots +p_n$として，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n$を求めよ．ただし，必要ならば，$|r|<1$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nr^n=0$であることは使ってよい．

実数を成分とする行列
\[ M=\left( \begin{array}{cc}
1 & b \\
b & 1-a
\end{array} \right),\quad M^\prime=\left( \begin{array}{cc}
1 & b^\prime \\
b^\prime & 1-a^\prime
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
が$MM^\prime=M^\prime M$，$a \neq 0$，$a^\prime \neq 0$を満たし，$P^{-1}MP$が対角行列であるとする．ここで，対角行列とは$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列である．

(1)$a,\ b,\ a^\prime,\ b^\prime$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)$\tan 2\theta$を$a,\ b$を用いた式で表せ．
(3)$P^{-1}M^\prime P$が対角行列であることを示せ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で表される移動により点$(x,\ y)$が点$(x^\prime,\ y^\prime)$に移るとき
\[ x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=x^2+y^2 \]
が常に成り立つとする．

(1)$\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$が成り立つことを示せ．

(2)行列$A^2$で表される移動が，原点に関する対称移動になるような行列$A$をすべて求めよ．

$x$の整式$f_n(x) (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f_0(x)=1,\quad f_1(x)=x, \\
f_{n+1}(x)=2xf_n(x)-f_{n-1}(x) \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
で定める．

(1)方程式$f_5(x)=0$を解け．
(2)$f_n(\cos \theta)=\cos n\theta (n=2,\ 3,\ 4,\ 5)$を示せ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{\pi}{10},\ \cos \frac{3\pi}{10},\ \cos \frac{7\pi}{10},\ \cos \frac{9\pi}{10}$の値を求めよ．

$a$を正の定数とする．放物線$C:y=(1-x)(x+a)$と$C$上の動点$\mathrm{P}(t,\ (1-t)(t+a))$について，次の問に答えよ．ただし，$0<t<1$とする．

(1)$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$，$xy$平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$C$と$y$軸および$2$つの線分$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{OQ}$とで囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$t$と$a$で表せ．
(2)$S$を最大にする$t$が$\displaystyle \frac{3}{4}<t<\frac{4}{5}$の範囲に存在することを示せ．

$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{2}x$として数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{4}{3},\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，次の問に答えよ．

(1)$f(x)$は区間$\displaystyle \frac{4}{5} \leqq x \leqq \frac{4}{3}$で減少することを示せ．

(2)$\displaystyle \frac{4}{5} \leqq a_n \leqq \frac{4}{3} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．

(3)$\displaystyle \frac{1}{3} \left( \frac{9}{25} \right)^{n-1} \leqq |a_n-1| \leqq \frac{1}{3} \left( \frac{9}{16} \right)^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．

空間内に三角形$\mathrm{ABC}$と定点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$とがある．点$\mathrm{P}$が$S$上のすべての点を動くときの$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値，最小値をそれぞれ$M,\ m$とするとき，次の問に答えよ．ただし，三角形$\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$は$\mathrm{OG}>1$をみたすものとする．

(1)$M=\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BQ}^2+\mathrm{CQ}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{Q}$，$m=\mathrm{AR}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CR}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{G}$は$1$直線上にあることを示せ．
(2)$\sqrt{M-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}-\sqrt{m-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}$の値は三角形$\mathrm{ABC}$に無関係に定まることを示し，その値を求めよ．