$3$以上の自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2)$4$以上の自然数$n$に対して不等式
\[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．

$n$を自然数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n k^2$を求めよ．
(2)$0<r<1$とし，$S_n=1+2r+3r^2+\cdots +nr^{n-1}$とおく．

(i) $S_n-rS_n$を求めよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}S_n$を求めよ．

(3)$a>0,\ b>0$に対して，不等式
\[ a+b-\sqrt{ab}<\sqrt{a^2+b^2}<a+b \]
が成り立つことを証明せよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \sqrt{\displaystyle\frac{1}{3^{2(k-1)}}+\frac{k^4}{n^6}}$を求めよ．

2次正方行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1+3 \sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \\
\displaystyle\frac{5 \sqrt{3}}{2} & \displaystyle\frac{1-3 \sqrt{3}}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array} \right) \]
について，次の問に答えよ．

(1)$A,\ B$は逆行列をもつことを示し，$A^{-1},\ B^{-1}$を求めよ．
(2)$B^{-1}A^{-1}B,\ (B^{-1}A^{-1}B)^3$を求めよ．
(3)$A^7BX=B$をみたす2次正方行列$X$を求めよ．
(4)(3)の行列$X$について
\[ E+X^5+X^{10}+X^{15}+X^{20}+X^{25}=O \]
が成り立つことを示せ．ただし$E$は2次の単位行列，$O$は零行列とする．

正の整数からなる数列$\{a_n\}$が$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ n \left( \frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}} \right)<2,\quad 2+\frac{1}{a_{n+1}}<(n+1) \left( \frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}} \right) \]
を満たし，かつ$a_2=2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_3$を求めよ．
(3)一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを証明せよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}$を求めよ．

$xyz$空間内の$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}=(x,\ y,\ z)$を考え，$\displaystyle \overrightarrow{p^\prime}=\frac{\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{p}|}$とおく．

(1)$\overrightarrow{p^\prime}$の大きさを求めよ．
(2)$\overrightarrow{p}$と$x$軸，$y$軸，$z$軸の正の向きとのなす角をそれぞれ$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とおくとき，$\overrightarrow{p^\prime}=(\cos \alpha,\ \cos \beta,\ \cos \gamma)$を示せ．
(3)$\overrightarrow{p}=(3,\ 4,\ 12)$とする．頂点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a_1,\ a_2,\ a_3)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3)$の$\triangle \mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$，$\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$はともに$\overrightarrow{p}$に垂直とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とおくとき，$xy$平面上の点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}^\prime(a_1,\ a_2,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(b_1,\ b_2,\ 0)$が作る$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の面積を$S$を用いて表せ．

$xy$平面上に，曲線$C_1:x=t-\sin t,\ y=1-\cos t \ (0 \leqq t \leqq 2\pi)$がある．$0<t<2\pi$をみたす$t$に対し，$C_1$上の点$\mathrm{P}_1(t-\sin t,\ 1-\cos t)$における$C_1$の法線を$m$とおき，$x$軸と$m$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点になるように点$\mathrm{P}_2$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)直線$m$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{M},\ \mathrm{P}_2$の座標を$t$を用いて表せ．さらに，$\mathrm{P}_2$の$x$座標を$f(t)$とおくと，関数$f(t)$は，$0<t<2\pi$で増加することを示せ．
(2)$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$\mathrm{P}_2$の軌跡を$C_2$とするとき，$x$軸と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．ただし，$t=0,\ 2\pi$に対しては，点$\mathrm{P}_2$をそれぞれ点$(0,\ 0)$，点$(2\pi,\ 0)$にとるものとする．

平面上に異なる2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$を通る直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$ \\
と$\mathrm{B}$を通る直線$m_1,\ m_2,\ m_3$が図のように交わっており， \\
直線$\ell_1$と$m_1$の交点を$\mathrm{P}$，$\ell_2$と$m_2$の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell_3$と$m_3$の \\
交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_3$，$\ell_2$と$\ell_3$，$m_1$と$m_2$，$m_2$ \\
と$m_3$のなす角はすべて$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であり，$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PAB}<\frac{\pi}{3}$， \\
$\displaystyle 0<\angle \mathrm{PBA}<\frac{\pi}{3}$である．$\alpha=\angle \mathrm{PAB}$，$\beta=\angle \mathrm{PBA}$として，次の問いに答えなさい．
\img{650_2779_2012_1}{45}


(1)$\angle \mathrm{APB}+\angle \mathrm{AQB}$を求めなさい．
(2)5点$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$が同一円周上にあることを示しなさい．
(3)5点$\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$を通る円の半径が1であるとき，五角形$\mathrm{AQRBP}$の面積を$\sin \alpha$，$\sin \beta$，$\sin 2 \alpha$，$\sin 2 \beta$を用いて表しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする．$x=\tan \theta$とおくことにより，$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ．
(2)(1)の$I_1$を部分積分して，$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き，$I_2$の値を求めよ．
(3)$t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & -3 \\
3 & 2
\end{array} \right)$で表される1次変換を$f$とする．$f$によって，点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$が移る点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，正の整数$n$に対して点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$が移る点を$\mathrm{P}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする．原点を$\mathrm{O}$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\cos \angle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$の値を求めよ．
(2)2以上の整数$n$で，直線$\mathrm{OP}_n$が線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$と交わる最小の$n$を求めよ．
(3)$i$を虚数単位とする．0でない整数$n$に対して，実数$a_n,\ b_n$を$(2+3i)^n=a_n+b_ni$により定める．このとき次の等式
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & -b_n \\
b_n & a_n
\end{array} \right) \]
が0でないすべての整数$n$に対して成り立つことを証明せよ．ただし，正の整数$m$に対し$A^{-m}=(A^m)^{-1}$とする．

$xy$平面において，直線$y=8$の上に点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$が，直線$y=0$の上に点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_3$，$\mathrm{Q}_4$，$\mathrm{Q}_5$が，それぞれ$x$座標の小さい順に並んでいる．これらを$y=8$上の点と$y=0$上の点ひとつずつからなる5つの組に分け，それぞれの組の2点を結んでできる5本の線分を考える．下図はその一例である．このとき，次の問いに答えなさい．
（図は省略）

(1)3本の線分$\mathrm{P}_i \mathrm{Q}_n$，$\mathrm{P}_j \mathrm{Q}_m$，$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_l$が1点$\mathrm{R}$で交わるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{P}_i \mathrm{P}_j \cdot \mathrm{Q}_l \mathrm{Q}_m}{\mathrm{P}_j \mathrm{P}_k \cdot \mathrm{Q}_m \mathrm{Q}_n}$を求めなさい．ただし，$i<j<k$かつ$l<m<n$であるとする．
(2)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，どのような結び方をしても3本の線分が1点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい．
(3)$\mathrm{P}_i,\ \mathrm{Q}_i \ (1 \leqq i \leqq 5)$の$x$座標を$2^i$とするとき，交点の数の合計がちょうど2つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい．