$a,\ b$を実数とし，$a<b$とする．関数$f(x)$は閉区間$[a,\ b]$で連続，開区間$(a,\ b)$で少なくとも2回まで微分可能で，$f^{\prime\prime}(x) \geqq 0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a<c<b$とする．$y=g(x)$を点$(c,\ f(c))$における$f(x)$の接線とする．$a \leqq x \leqq b$のとき$g(x) \leqq f(x)$を示せ．
(2)$y=h(x)$を，$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$の2点を通る直線とする．$a \leqq x \leqq b$のとき$f(x) \leqq h(x)$を示せ．
(3)$a<c<b$とする．
\[ \frac{1}{2}(b-a) \left( f^\prime(c)(a+b-2c)+2f(c) \right) \leqq \int_a^b f(x) \, dx \leqq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a) \]
を示せ．
(4)\[ \frac{\pi}{2}e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-\cos x} \, dx \leqq \frac{\pi}{4} \left( 1+\frac{1}{e} \right) \]
を示せ．

以下では，実数を成分にもつ行列を考える．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
0 & d
\end{array} \right)$とする．

(i) $a>0,\ d \geqq 0$または$a \geqq 0,\ d>0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ．
(ii) $a<0$または$d<0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$が存在するための必要十分条件を$a,\ b,\ d$を用いて表せ．また，この条件が成り立つとき，$X^2=A$を満たす行列$X$を1つ求めよ．
(iii) $a=d=0,\ b \neq 0$のとき，$X^2=A$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．

(2)$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right),\ B^2=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．

(i) $p+s=0,\ ps-qr=0$となることを示せ．
(ii) $B \neq \left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$のとき，$X^2=B$を満たす行列$X$は存在しないことを示せ．

関数$y=e^{-x}$のグラフを$C$とする．$C$上の点P$(t,\ e^{-t})$における接線と$x$軸との交点をQ$(u,\ 0)$とする．$C$上の点$(u,\ e^{-u})$をRとするとき，次の問いに答えよ．

(1)$u$を$t$の式で表せ．
(2)線分PQ，線分QRと$C$で囲まれた部分を図形Aとする．図形Aを$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)(1)の$u$を$t$の関数とみて$u(t)$と表す．数列$\{t_n\}$を$t_1=0,\ t_{n+1}=u(t_n) \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$と定義するとき，一般項$t_n$を求めよ．
(4)(2)の$V$を$t$の関数とみて$V(t)$と表し，(3)の$t_n$を用いて$V_n=V(t_n) \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく．数列$\{V_n\}$は等比数列であることを示し，無限等比級数
\[ V_1+V_2+\cdots +V_n+\cdots \]
の収束，発散を調べ，収束する場合は，その和を求めよ．

正の奇数$p$に対して，$3$つの自然数の組$(x,\ y,\ z)$で，$x^2+4yz=p$を満たすもの全体の集合を$S$とおく．すなわち，
\[ S=\left\{ (x,\ y,\ z) \;\Big|\; x,\ y,\ z \text{は自然数，} x^2+4yz=p \right\} \]
次の問いに答えよ．

(1)$S$が空集合でないための必要十分条件は，$p=4k+1 \ (k \text{は自然数})$と書けることであることを示せ．
(2)$S$の要素の個数が奇数ならば$S$の要素$(x,\ y,\ z)$で$y=z$となるものが存在することを示せ．

$-1<x<1$を定義域とする関数$\displaystyle f_p(x)=\frac{x-p}{1-px}$，$\displaystyle f_q(x)=\frac{x-q}{1-qx}$ \ $(-1<p<1,\ -1<q<1)$について，次の問いに答えよ．

(1)定義域内のすべての$x$に対して，$-1<f_q(x)<1$を示せ．
(2)定義域内のすべての$x$に対して，$\displaystyle f_p(f_q(x))=\frac{x-r}{1-rx}$を満たすとき，$r$を$p$と$q$を用いて表し，$-1<r<1$を示せ．ただし，$f_p(f_q(x))$は$\displaystyle f_p(y)=\frac{y-p}{1-py}$に$y=f_q(x)$を代入したものを意味するものとする．
(3)定義域内のすべての$x$に対して，$f_p(f_q(x))=f_q(x)$を満たす$p$を求めよ．

$C_1$を中心$(0,\ 0)$，半径$1$の円とし，$C_2$を中心$(0,\ 0)$，半径$r>1$の円とする．$ad-bc>0$を満たす行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で表される$1$次変換により円$C_1$が円$C_2$に移るとする．次の問いに答えよ．

(1)$a^2+c^2=b^2+d^2=r^2,\ ab+cd=0$が成り立つことを示せ．
(2)$a=r \cos \theta,\ c=r \sin \theta \ (\theta \text{は実数})$とおくとき，$b,\ d$を$r,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$B=\displaystyle\frac{1}{r} \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とする．また，$C_1$に外接し，$C_2$に内接する$8$個の相異なる円$S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_8$が次の$3$条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たしているとする．このとき，$r$を求めよ．

(i) 行列$B$で表される$1$次変換により$S_i \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_{i+1}$に，$S_8$は$S_1$に移る．
(ii) $S_{i+1} \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_i$に外接し，$S_8$は$S_1$にも外接する．
(iii) $S_1$は$S_3,\ S_4,\ \cdots, S_7$と交わらない．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えなさい．

(1)$A^2$と$A^3$を求めなさい．
(2)自然数$n$に対して$A^n$を推測し，それを数学的帰納法により証明しなさい．

次の問いに答えよ．

(1)円$C:x^2+y^2=5^2$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (t \neq 0)$における接線の方程式が
\[ y=-\frac{s}{t}x+\frac{5^2}{t} \]
となることを示せ．
(2)円$C$の接線のうち，傾きが$7$となるものを求めよ．

曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．

(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]

$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)二項定理を用いて，$\displaystyle \sum_{k=0}^n \comb{n}{k}=\comb{n}{0}+\comb{n}{1}+\cdots +\comb{n}{n-1}+\comb{n}{n}$の値が$2^n$に等しいことを示せ．
(2)複素数$z$が$z^2-2z+2=0$をみたすとき，$z$および$z^{4n}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k \cdot \comb{4n}{2k}=\comb{4n}{0}-\comb{4n}{2}+\cdots -\comb{4n}{4n-2}+\comb{4n}{4n}$の値が$(-4)^n$に等しいことを示せ．