$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n \theta \, d\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$I_1$および$I_n+I_{n+2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ．
(2)不等式$I_n \geqq I_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}nI_n$を求めよ．

次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$n$を自然数とする．$x$の関数$f(x)=x^ne^{1-x}$について，$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ．
(2)自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{1-x} \, dx$とおくとき，$I_1$を求めよ．さらに，$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(3)(2)の$I_n$に対して$\displaystyle a_n=\frac{I_n}{n!}$とおくとき，$\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}=a_1-a_n$であることを示せ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=e-1$であることを示せ．

極方程式$\displaystyle r=\frac{a}{2+\cos \theta}$で与えられる2次曲線がある．ただし，$a$は正の定数とする．このとき次の各問いに答えよ．

(1)この2次曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表せ．
(2)(1)で求めた2次曲線を$x$軸方向に$\displaystyle \frac{a}{3}$だけ平行移動した2次曲線を$C$で表す．$C$を直交座標$x,\ y$の方程式で表せ．また，この2次曲線$C$は$x$軸と2点AとBで交わる．この2点A，Bの座標を求めよ．ただし，Bの$x$座標は正とする．
(3)(2)で求めた2次曲線$C$上の$x$軸上にない点P$(\alpha,\ \beta)$から$x$軸に下ろした垂線をPHとする．さらにPと$x$軸に関して対称な点をQとするとき，次の値は定数であることを証明せよ．
\[ \frac{\text{PH} \cdot \text{QH}}{\text{AH} \cdot \text{BH}} \]

楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$および双曲線$\displaystyle C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0,\ b>0$とする．

(1)楕円$C_1$上の点$(x_1,\ y_1)$における接線の方程式は
\[ \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(2)楕円$C_1$の外部の点$(p,\ q)$を通る$C_1$の2本の接線の接点をそれぞれA$_1$，A$_2$とする．直線A$_1$A$_2$の方程式は
\[ \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1 \]
であることを示せ．
(3)$(p,\ q)$が双曲線$C_2$上の点であるとき，直線$\displaystyle \frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1$は$C_2$に接することを示せ．

実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．

曲線$C:y=x \sin x$について，次の問に答えよ．

(1)$C$の接線のうち，原点を通る接線の方程式をすべて求めよ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$と$C$との交点のうち，第1象限にあるものを$x$座標の小さい方から順にP$_1$，P$_2$，P$_3$，$\cdots$とする．線分P$_{2n-1}$P$_{2n}$と$C$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)点Q$_n \displaystyle \left( \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi,\ \frac{\pi}{2}+2(n-1)\pi \right)$に対して，$\triangle$P$_{2n-1}$P$_{2n}$Q$_n$の面積を$T_n$とする．このとき，$n$によらずに$\displaystyle \frac{S_n}{T_n}$が一定であることを示せ．

$A=\biggl( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$A^2-6A+9E=O$を示せ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(2)数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を
\begin{align}
& \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr), \nonumber \\
& \biggl( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{align}
で定めるとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

$A=\biggl( \begin{array}{cc}
2 & -1 \\
1 & 4
\end{array} \biggr)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$A^2-6A+9E=O$を示せ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\quad O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(2)数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$を
\begin{align}
& \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
-1
\end{array} \biggr), \nonumber \\
& \biggl( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \biggr) \quad (n \geqq 2) \nonumber
\end{align}
で定めるとき，$x_n,\ y_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3)自然数$n$に対して，$A^n=a_nA+b_nE$となる$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．

実数$x$に対し，$[\,x\,]$を$x$以下の最大の整数とする．たとえば，$\displaystyle [\,2\,]=2,\ \left[ \frac{7}{5} \right]=1$である．数列$\{a_k\}$を
\[ a_k=\left[ \frac{3k}{5} \right] \quad (k=1,\ 2,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$a_{k+5}=a_k+3 \ (k=1,\ 2,\ \cdots)$を示せ．
(3)自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^{5n}a_k$を求めよ．