「証明」について
タグ「証明」の検索結果
（121ページ目：全1924問中1201問～1210問を表示）
国立 岐阜大学 2012年 第3問鋭角三角形OABにおいて，$\text{OA} \geqq \text{OB}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．実数$t,\ s$を$0<t<1,\ 0<s<1$とする．辺OAを$t:(1-t)$の比に内分する点をP，辺OBを$s:(1-s)$の比に内分する点をQ，直線AQと直線BPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
国立 岐阜大学 2012年 第3問鋭角三角形OABにおいて，$\text{OA} \geqq \text{OB}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．実数$t,\ s$を$0<t<1,\ 0<s<1$とする．辺OAを$t:(1-t)$の比に内分する点をP，辺OBを$s:(1-s)$の比に内分する点をQ，直線AQと直線BPとの交点をRとする．以下の問に答えよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$t,\ |\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を用いて$s$を表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OR}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$であるとき，$s \geqq t$となることを示せ．このとき，$s=t$ならば$\text{OA}=\text{OB}$となることを示せ．
国立 富山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 富山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 富山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(2)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 富山大学 2012年 第3問行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$
ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．
(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}
\mon[(a)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$は$\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$のいずれかであることを示せ．
\mon[(b)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を$X_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr)$となる確率を$Y_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$となる確率を$Z_n$とするとき，$X_{n+1},\ Y_{n+1},\ Z_{n+1}$をそれぞれ$Y_n$を用いて表せ．また，$X_n$を$n$を用いて表せ．
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．
\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$
ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．
(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}
\mon[(a)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$は$\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$のいずれかであることを示せ．
\mon[(b)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を$X_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr)$となる確率を$Y_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$となる確率を$Z_n$とするとき，$X_{n+1},\ Y_{n+1},\ Z_{n+1}$をそれぞれ$Y_n$を用いて表せ．また，$X_n$を$n$を用いて表せ．
国立 富山大学 2012年 第2問$n$が奇数のとき，
\[ S=n+(n+1)^2+(n+2)^3 \]
は$16$の倍数であることを示せ．
\[ S=n+(n+1)^2+(n+2)^3 \]
は$16$の倍数であることを示せ．
国立 富山大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^x \geqq 1+x \]
(2)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
(1)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^x \geqq 1+x \]
(2)すべての実数$x$に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ e^{-x^2} \leqq \frac{1}{1+x^2} \]
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \frac{e-1}{e} < \int_0^1 e^{-x^2} \, dx < \frac{\pi}{4} \]
国立 九州工業大学 2012年 第2問Oを原点とする座標平面上に点A$(0,\ 1)$があり，点Aからの距離が4である点P$(x,\ y)$が$x>0$，$y>1$をみたすように動く．直線APが$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$，点Pから$x$軸に垂線を下ろしたときの交点をQとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形OAPQの面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるときの$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)四角形OAPQを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$V$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$で最大となることを示せ．
(1)点Pの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形OAPQの面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた$S$が最大となるときの$\sin \theta$の値を求めよ．
(4)四角形OAPQを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)(4)で求めた$V$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{4}$で最大となることを示せ．
国立 岐阜大学 2012年 第4問数列$\{x_n\}$を
\[ x_1=1,\ x_{n+1}=x_n+x_n(1-\log x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めることにする．$e$を自然対数の底として，以下の問に答えよ．
(1)実数$x$が$0<x<e$のとき，$\displaystyle \frac{1}{e}(e-x) < 1-\log x < \frac{1}{x}(e-x)$となることを示せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$1 \leqq x_n < e$であることを示せ．
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$\displaystyle e-x_{n+1}< \left(1-\frac{1}{e} \right) (e-x_n)$であることを示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=e$であることを示せ．
\[ x_1=1,\ x_{n+1}=x_n+x_n(1-\log x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めることにする．$e$を自然対数の底として，以下の問に答えよ．
(1)実数$x$が$0<x<e$のとき，$\displaystyle \frac{1}{e}(e-x) < 1-\log x < \frac{1}{x}(e-x)$となることを示せ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$1 \leqq x_n < e$であることを示せ．
(3)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$\displaystyle e-x_{n+1}< \left(1-\frac{1}{e} \right) (e-x_n)$であることを示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=e$であることを示せ．